专题01 有理数【题型汇总】【知识要点】知识点一 有理数基础概念n 有理数正数：大于0的数叫做正数根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数负数前面的负号“-”不能省略易错点】1）0既不是正数，也不是负数，也可以说0是正数和负数的分界线2）-a可能是正数、负数或0①当a是正数时，-a是负数；②当a是负数时，-a是正数；③当a=0时，-a=0， 0不分正负)3）正数和负数表示具有相反意义的量若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然常见的表示相反意义的量（举例）：上升与下降，增长与减小等如何判断一组词是否具有相反意义的量】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．热考题型一 理解正数与负数【解题思路】1）大于0的数叫做正数小于0的数叫做负数 2）正数和负数表示具有相反意义的量若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然典例1．（2022·云南·中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ）A．10℃ B．0℃ C．-10 ℃ D．-20℃变式1-1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（ ）A． B． C． D．变式1-2．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为_________．有理数的分类：【易错点】1）有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。
例：0.53、1.333333….等）2）无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数例如：π)3）对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏04）最小的正整数 _____1_______最大的负整数 ______-1______最小的自然数 ______0______热考题型二 理解有理数【解题思路】理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键典例2．（2021·广西来宾·中考真题）下列各数是有理数的是（ ）A． B． C． D．变式2-1．（2021·山东省诸城市三模）若，那么实数一定是（ ）A．负数 B．正数 C．零 D．非正数变式2-2．（2019·湖北咸宁·中考真题）下列关于的说法正确的是（ ）A．是正数 B．是负数 C．是有理数 D．是无理数变式2-3．（2019·四川乐山·中考真题）一定是（ ）A．正数 B．负数 C． D．以上选项都不正确n 数轴 概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴数轴的三要素：原点、正方向、单位长度画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度易错点】1）数轴是一条可向两段无限延伸直线。
2）数轴的三要素缺一不可3）同一数轴上的单位长度要统一4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应利用数轴比较两个数大小：依据：数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.方法：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大热考题型三 用数轴上的点表示有理数【解题思路】任何有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数典例3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3变式3-1．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )A．① B．② C．③ D．①或②变式3-2．（2022·山东临沂·中考真题）如图，，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是6，则点表示的数是（ ）A．-2 B．-3 C．-4 D．-5变式3-3．（2020·江苏盐城·中考真题）实数在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）A． B． C． D．变式3-4．（2020·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）A．2 B．-1 C．-2 D．-3变式3-5．（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）A．或1 B．或2 C． D．1热考题型四 根据点在数轴的位置判断式子正负【解题思路】数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例4．（2022·宁夏·中考真题）已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）A． B． C． D．变式4-1．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0变式4-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a变式4-3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）A． B． C． D．n 相反数概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）【注意事项】1）特别注意，0的相反数是02）相反数是成对出现的，不能单独存在，并且这两个数除符号不同以外数字完全相同意义：任何一个数都有且只有一个相反数正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.）几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
表示方法：通常一个数a的相反数可以表示为-a注意事项】1）通常a与-a互为相反数；2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；3）一个数的前面加上“-”号表示这个数的相反数4）解题关键，若两个数互为相反数，则它们的和为05）相反数等于它本身的数只有0多重符号化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负热考题型五 相反数的判定【解题思路】理解相反数的概念典例5．（2022·河南·中考真题）的相反数是（ ）A． B．2 C． D．变式5-1．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．A．3 B．2 C．1 D．0变式5-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（ ）A． B． C． D．16变式5-3．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，点、表示的实数互为相反数，则点表示的实数是（ ）A．2 B．－2 C． D．变式5-4．（2022·湖北荆州·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（ ）A．a与d B．b与d C．c与d D．a与cn 绝对值概念：一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”。
几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0绝对值的表示方法：【扩展】1）非负数的绝对值等于他本身，即a≥0⇔|a|=a2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a≤0⇔|a|=-a3) 一个数的绝对值不可能为负数4) 一个负数的绝对值是它的相反数性质（解题思路）：1）任何一个数的绝对值总是正数或零（非负性），即：|a|≥02）0的绝对值是0，即：a=0⇔|a|=0扩展：绝对值最小的数是0）3）互为相反数的两个数绝对值相等，即：a+b=0或a=-b⇔|a|=|b|4）绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即：|a|=|b|⇒a=b或a=-b5）绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：|x|=a⇔x=±a6）若几个数的绝对值的和为0，则这几个数分别为0，即：|a|+|b|+|c|+...+|m|=0⇒a=b=c=...=m=07）若，则a>0, 若，则a<0利用绝对值比较两个有理数的方法：1）两个负数比较，绝对值大的反而小2）两个正数比较，绝对值大数越大。
对含有字母的绝对值化简求值（重点难点）：步骤：1）首先判断这个数是正数、负数还是0. 2）再根据绝对值的意义判断去掉绝对值的符号例1：化简|x-4|第一步：取0点：令x-4=0，得x=4；第二步：取范围：x≤4和x≻4或x≺4和x≥4；第三步：在各范围内化简：②当x≤4时，x-4≤0，∴|x-4|=-(x-4)=-x+4③当x≻4时，x-4≻0，∴|x-4|=x-4.例2：求|x﹣1|+|x+2|的最小值解：由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，∵要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3热考题型六 求一个数的绝对值【解题思路】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0典例6．（2022·广东·中考真题）的值等于（ ）A．2 B． C． D．﹣2变式6-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）﹣2022的绝对值是（ ）A． B． C．2022 D．﹣2022变式6-2．（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5的是（ ）A． B． C． D．变式6-3．（2022·浙江衢州·中考真题）计算结果等于2的是（ ）A． B． C． D．变式6-4．（2022·江苏泰州·中考真题）若，则的值为__________.热考题型七 绝对值非负性的应用【解题思路】一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。
典例7．（2022·四川泸州·中考真题）若，则________．变式7-1．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则__________．变式7-2．（2022·贵州黔东南·中考真题）若，则的值是________．变式7-3．（2021·广东·中考真题）若，则（ ）A． B． C． D．9变式7-3．（2021·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（ ）A． B．若取最小值，则C．若，则 D．若，则热考题。