二次函数图象综合应用 知识互联网 题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系思路导航图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为（或）（），则：开口方向，越大，开口越小．对称轴（或）．顶点坐标，或，．单调性 当时，在对称轴的左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随的增大而增大（如图1）；当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与轴的交点：；② 与轴的交点：，其中是方程的两根．图象与轴的交点个数① 当时，图象与轴有两个交点．② 当时，图象与轴只有一个交点．③ 当时，图象与轴没有交点．Ⅰ当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；Ⅱ当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．例题精讲【引例】 二次函数的图象如图所示，判断，，，，，，的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以；函数的对称轴，所以；函数图象与轴的交点小于，所以；函数图象与轴有两个不同的交点，所以；同时，所以；所对应的函数值小于，所以；所对应的函数值大于，所以典题精练【例1】 ⑴ 二次函数的图象如图所示，则点在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限⑵ 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） A． B． C． D．⑶ 一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，点的坐标为，则下列结论中，正确的是（ ）A． B． C． D．【解析】 ⑴ B. ⑵ B．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线，，下列关系中正确的是（ ）A． B． C． D． ）⑵ 如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，若，则的值为 ． 【解析】 ⑴ A．提示：把代入即可．⑵ ．提示：先把B代入，得，再把代入即可．【例3】 ⑴ 函数与的图象如图所示，有以下结论：①＞0；②；③；④当1＜x＜3时，．其中正确的为 ．⑵ 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）；⑥ ；⑦，⑧，其中正确的结论有（ ）A．个 B．个 C．个 D．个【解析】 ⑴ ③④⑵ C．对称轴在轴的右边得（由开口向下得，故），抛物线与轴交于正半轴得，∴，①不正确；当时，函数值为，②不正确；当时，函数值，③正确；其实和到对称轴的距离相等，函数值相等得，∴代入，，即，④正确；当，∵，，可知⑤正确；由对称轴得，故⑥正确；抛物线与轴有两个交点，故，故⑦不正确；，，故，故⑧不正确．题型二：二次函数的最值思路导航 对于二次函数（表示的最大值，表示的最小值）⑴ 若自变量的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处时，取到最值．⑵ 若，如图②，当，；当，．⑶ 若，如图③，当，；当，．⑷ 若，且，,如图④，当，；当，．例题精讲【引例】 ⑴ 若为任意实数，求函数的最小值；⑵ 若，求的最大值、最小值；⑶ 若，求的最大值、最小值；⑷ 若，求的最大值、最小值；⑸ 若为整数，求函数的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当时，的最小值是．⑵ 由图象可知：当时，函数单调递增，当时，最小，且，当时，最大，且．⑶ 由图象可知：当时，函数是先减后增， ∴当，最小，且．∵当时，；当时， ，∴当时，最大，且．⑷ 由函数图象开口向上，且，故当时，取最大值为，当时，取最小值为．⑸ ∵，当时，取最小值为．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．典题精练【例4】 ⑴ 已知m、n、k为非负实数，且，则代数式的最小值 为 ． ⑵ 已知实数满足，则的最大值为 ．⑶ 当时，二次函数的最小值为（ ）A． B． C． D． 【解析】 ⑴∵m、n、k为非负实数，且，∴m、n、k最小为0，当n=0时，k最大为：；∴，故最小值为2.5．⑵ ．提示：，令，当，的最大值为．本题属于为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B．提示：二次函数的对称轴为，且抛物线的开口向上，故时，的最小值为．【例5】 如图，抛物线经过点，且与抛物线相交于两点．yxPAOBMENF⑴ 求值；⑵ 设与轴分别交于两点（点在点的左边），与轴分别交于两点（点在点的左边），观察四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设两点的横坐标分别记为，若在轴上有一动点，且，过作一条垂直于轴的直线，与两条抛物线分别交于两点，试问当为何值时，线段有最大值？其最大值为多少？yxPAOBDQC【解析】 ⑴ ∵点在抛物线上，∴，解得．NFEM⑵ 由⑴知，∴抛物线，． 当时，解得，．∵点在点的左边，∴，．当时，解得，．∵点在点的左边，∴，． ∵，，∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称．⑶ ∵．∴抛物线开口向下，抛物线开口向上． 根据题意，得．又，消可解得，则当时，的最大值为．【例6】 ⑴ 二次函数的图象的一部分如图所示，求的取值范围⑵ 二次函数的图象的一部分如图所示，试求的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知，又此二次函数图象经过，则有，，得，∵，据图象得对称轴在轴左侧，∴∴，∴于是有．⑵ 由图象可知．又顶点在轴的右侧，在轴的下方，则：，，∴．又∵当时，当时，，∴∴∴．∴∴，即．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断与之间的关系．⑶ 根据抛物线与轴的交点，判断的大小．⑷ 根据抛物线与轴有无交点，判断的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于的等式．⑹ 根据抛物线的顶点，判断的大小．例. 的图象如图所示．设， 则（ ） A． B． C． D．不能确定为正，为负或为分析：依题意得，，∴，，，又当时，，当时，， 故，故选C．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲)区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求在上的最大值和最小值．分析： 先求最小值．因为的对称轴是，可分以下三种情况：⑴ 当时，在上为增函数，所以；⑵ 当时，为最小值，；⑶ 当时，在上为减函数，所以．综上所述：最大值为与中较大者：，（1）当时，，则；（2）当时，，则．故点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较与的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况．3、轴定区间动：例．若函数当时的最小值为，求函数当时的最值．分析： ，按直线与区间的不同位置关系分类讨论：若，则；若，即，则；若，即，则．∴函数在内是减函数，在内是常值函数，在内是增函数，又，故在区间内，（当时取得），．小结：（i）解此类问题时，心中要有图象；（ii）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与轴交点的横坐标．因此，可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程的两个实根、，，方程对应的二次函数为．1．当方程有一根大于，另一根小于时，对应二次函数的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：；2．当方程两根均大于时，对应函数的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：， ，；3．当方程两根均在区间内，对应二次函数的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：， ，，；4．当两根中仅有一根在区间内，对应函数的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ；5．当两根在区间之外时：对应函数的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：，；6．当两根分别在区间、内，且，对应函数的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：，，， ．小结： 由函数图像与轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式的符号；②对称轴的位置分布；③二次函数在实根分布界点处函数值的符号．例．若方程的两个根均大于2，求实数的取值范围．分析：令，如图得充要条件：，解得．思维拓展训练(选讲)训练1. 已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（ ） A B C D【解析】 B．由，且，可得， ，且过点，由，且=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：，∴，∴．另一方法：∵，∴，，从而得到．训练2. 已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：⑴ 当时，；⑵ 当时，；⑶ 方程有两个不相等的实数根、；⑷，；⑸，其中所有正确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当时，代入得，故⑴正确；因为的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当时，，故⑵不正确；联立方程可得，抛物线与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根．当时，，若，，若，，故⑷正确．，故⑸不正确.训练3. 如图所示，二次函数的图象交轴于和，交轴于，当线段最短时，求线段的长．【解析】 设，，，，则，是方程的两根，则当时，取最小值，即最短，此时，抛物线为， 可求得的纵坐标为，即线段的长是．训练4. 小明为了通过描点法作出函数的图象，先取自变。
