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1、专题03 隐零点问题在求解函数问题时,很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点,但所述情形都难以求出其准确值,导致解题过程将无法继续进行但可这样尝试求解:先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如,函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点),这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然,有时是可以求出但无需求出),所以把零点x0叫做隐零点;若x0容易求出,就叫做显零点,而后解答就可继续进行实际上,此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法1设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a1,k为整数,且当x0时,(xk)
2、f(x)x10,求k的最大值【解析】(1)当a0时,f(x)的单调递增区间是(,),无单调递减区间;当a0时,函数f(x)的单调递减区间是(,ln a),单调递增区间是(ln a,)(解答过程略)(2)由题设可得(xk)(ex1)x10,即k0)恒成立令g(x)x(x0),得g(x)1(x0)由(1)的结论可知,函数h(x)exx2(x0)是增函数又因为h(1)0,所以函数h(x)的唯一零点(1,2)(该零点就是h(x)的隐零点)当x(0,)时,g(x)0,所以g(x)ming().又e2且(1,2),则g(x)ming()1(2,3),所以k的最大值为2.2已知函数f(x).(1)求函数f(
3、x)的零点及单调区间;(2)求证:曲线y存在斜率为6的切线,且切点的纵坐标y00上有解构造辅助函数g(x)1ln x6x2(x0),g(x)12x0,函数g(x)在(0,)上单调递减,且g(1)50,所以x0,使得g(x0)0.即证明曲线y存在斜率为6的切线设切点坐标为(x0,f(x0),则f(x0)6x0,x0.令h(x)6x,x.由h(x)在区间上单调递减,则h(x)h1,所以y0f(x0)0,证明:f(x0)2(x0x)【解析】(1) f(x)(x1)exa(x1),x(0,)当a0时,f(x)0,f(x)在(0,)上为增函数,不存在极值点;当a0时,令h(x)xexa,h(x)(x1)
4、ex0.显然函数h(x)在(0,)上是增函数,又因为当x0时,h(x)a0,必存在x00,使h(x0)0.当x(0,x0)时,h(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)为增函数所以,xx0是f(x)的极小值点综上,当a0时,f(x)无极值点,当a0时,f(x)有一个极值点(2)证明由(1)得,f(x0)0,即a,f(x0)a(x0ln x0)(1x0ln x0),因为f(x0)0,所以1x0ln x00,令g(x)1xln x,g(x)1g(1)得x0,所以(x)为增函数,(x)(1)0,即(x)0,即ln x1x,所以ln(x1)x10.因为x0(0,1),所以x010,1x0ln x01
5、x01x00,相乘得(1x0ln x0)(x01)(22x0),所以f(x0)(1x0ln x0)2x0(x01)(1x0)2x0(1x)2(x0x)结论成立5已知函数f(x)ln xx2x,g(x)(x2)exx2m(其中e为自然对数的底数)当x(0,1时,f(x)g(x)恒成立,求正整数m的最大值【解析】当x(0,1时,f(x)g(x),即m(x2)exln xx.令h(x)(x2)exln xx,x(0,1,所以h(x)(1x),当00,所以u(x)在(0,1上单调递增因为u(x)在区间(0,1上的图象是一条不间断的曲线,且u20,所以存在x0,使得u(x0)0,即,所以ln x0x0.
6、当x(0,x0)时,u(x)0,h(x)0,h(x)0.所以函数h(x)在(0,x0上单调递减,在x0,1)上单调递增,所以h(x)minh(x0)(x02)ln x0x0(x02)2x012x0.因为y12x在x(0,1)上单调递减,又x0,所以h(x0)12x0(3,4),所以当m3时,不等式m(x2)exln xx对任意的x(0,1恒成立,所以正整数m的最大值是3.6已知f(x)x24x6ln x.(1)求f(x)在(1,f(1)处的切线方程以及f(x)的单调性;(2)对任意x(1,),有xf(x)f(x)x26k12恒成立,求k的最大整数解;(3)令g(x)f(x)4x(a6)ln x
7、,若g(x)有两个零点分别为x1,x2(x1x2)且x0为g(x)的唯一的极值点,求证:x13x24x0.【解析】 (1)因为f(x)x24x6ln x,所以定义域为(0,),所以f(x)2x4,且f(1)8,f(1)3,所以切线方程为y8x5.又f(x)(x1)(x3),令f(x)0解得x3,令f(x)0解得0x3,所以f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,)(2)xf(x)f(x)x26k12等价于k,记h(x),则kh(x)min,且h(x),记m(x)x2ln x,则m(x)10,所以m(x)为(1,)上的单调递增函数,且m(3)1ln 30,m(4)2ln 40,所
8、以存在x0(3,4),使得m(x0)0,即x02ln x00,所以h(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增,且h(x)minh(x0)x0(3,4),所以k的最大整数解为3.(3)证明:g(x)x2aln x,则g(x)2x,令g(x)0,得x0,当x时,g(x)0,当x时,g(x)0,所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,而要使g(x)有两个零点,要满足g(x0)0,即g2aln0a2e.因为0x1,x2,令t(t1),由g(x1)g(x2),可得xaln x1xaln x2,即xaln x1t2xaln tx1,所以x,而要证x13x24x0,只需证(3t1)x12,即证
9、(3t1)2x8a,即(3t1)28a,又a0,t1,所以只需证(3t1)2ln t8t280,令h(t)(3t1)2ln t8t28,则h(t)(18t6)ln t7t6,令n(t)(18t6)ln t7t6,则n(t)18ln t110(t1),故n(t)在(1,)上单调递增,n(t)n(1)0,故h(t)在(1,)上单调递增,h(t)h(1)0,所以x13x24x0.7已知函数当时,求整数的最大值【解析】当时,即, 因为,所以只需,令,所以,令,在递增但无法求解,故引入隐零点:,根据零点存在性定理,使得,即 当时,即,为减函数,当时,即,为增函数,所以,故; 在递增,所以,又 所以整数的
10、最大值是18已知函数.(1)证明:函数在上存在唯一的零点;(2)若函数在区间上的最小值为1,求的值.【解析】(1)证明:,.在区间上单调递增,在区间上单调递减,函数在上单调递增.又,令,则在上单调递减,故.令,则,所以函数在上存在唯一的零点.(2)解:由(1)可知存在唯一的,使得,即(*).函数在上单调递增.当时,单调递减;当时,单调递增.由(*)式得.,显然是方程的解.又是单调递减函数,方程有且仅有唯一的解,把代入(*)式,得,即所求实数的值为.9已知函数,(1)令,求的最小值;(2)若恒成立,求的取值范围【解析】(1)有题意知,当,即在上单调递减,当,即在上单调递增,故,的最小值为0;(2)原不等式等价于,即,在上恒成立,等价于,在上恒成立,令,令,则为上的增函数,又当时,在存在唯一的零点,即,由,又有在上单调递增,的取值范围是10已知函数的图象在点(为自然对数的底数)处的切线斜率