《高中数学复习专题02 必要性探路(端点效应)(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学复习专题02 必要性探路(端点效应)(解析版)（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题02 必要性探路(端点效应)含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题型，方法灵活多样，常见的方法有:分离参数函数最值;直接化为最值分类讨论. 但当问题具有区间端点（定义域内一点）的函数值恰好是不等式恒成立时的临界值是这一显著特征时，应运用“零点、端点效应”. 其具体方法是：先在定义域内取这个特殊值，然后由不等式成立求出参数的取值范围，显然这个取值范围是不等式恒成立的一个必要条件，这样相当于对参数增加了一个条件，对问题解决有很好的导向性. 接下来在这个条件下继续求解，然而有趣的是在后面的解答中我们发现求出的这个范围恰好是不等式恒成立的充分条件，也就是说赋值法求出的参数取值范
2、围有时恰好是题目所求的取值范围. 必要探路法，就是利用端点效应的原理；其基本步骤如下：1.探究必要条件，缩小参数范围：首先利用端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；常见的几种缩小参数范围的思路：(1)若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即此法应用于区间端点值包含参数的情况.(2)若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况.(3)若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.(4)若在上恒成立，则 ，此法应用于区间端点值包含参数的情况.(5)若在上恒成立，则，此法应用于区间端点值包含参数的情况.2.证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判
3、定函数是否单调；（1）如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案；（2）如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值.若使用必要探路法，则尤其要注意第一步，即寻找必要条件，因为其具有较强的技巧性.常见的选取技巧包括选择端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如等）.1是否存在正整数，使得对一切恒成立?试求出的最大值.【解析】易知对一切恒成立，当可得，则仅可取1、2下证时不等式恒成立，设在单调递减，单调递增，当时，不等式恒成立，所以最大为2.2求k的最大整数值.【解析】令，显然因此的最大整数值可能是4，下证时恒成立由即所以3已知函数（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两
4、坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围【解析】（1）当时，（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，当时，当时，曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积（2）方法五：等价于，该不等式恒成立当时，有，其中设（a），则（a），则（a）单调递增，且（1）所以若成立，则必有下面证明当时，成立设，在单调递减，在单调递增，即，把换成得到，当时等号成立综上，4已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若，且在时恒成立，求实数的取值范围【解析】（1），当时，恒成立，即函数在递减；当时，令，解得，令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减综上，当时，函数在递减；当时，函数在上
5、单调递增，在上单调递减；（2）由题意，即当时在时恒成立，即在时恒成立记，则（1），记（a），在递增，又（1），所以（1）时，下面证明：当时，在时恒成立因为所以只需证在时恒成立记，所以，又，所以在单调递增，又（1）所以，单调递减；，单调递增，所以（1），在恒成立综上可知，时，在时恒成立5已知函数（1）若函数与有公共点，求的取值范围；（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.【解析】（1）令，即，则，函数与有公共点，即有解.令，则.令，当时，所以，当时，所以所以在上单调递增，在上单调递减，所以且当时，所以.（2）不等式恒成立，即恒成立.则时，成立，解得，由题意求满足条件的整数最小值，下面验证是否满足题
6、意.当时，令，且在上单调递增.又，可知存在唯一的正数，使得，即，则在上单调递减，在上单调递增.所以，即当时，不等式成立.故整数的最小值为6已知，（1）若，证明：；（2）对任意都有，求整数的最大值【解析】（1）设，则因为，且则在，单调递减，所以存在唯一零点，使得则在时单调递增，在上单调递减又，所以在上恒成立上，所以在单调递增则，即，所以（2）因为对任意的，即恒成立，令，则，由（1）知，所以由于为整数，则因此下面证明，在区间上恒成立即可.由（1）知，则故设，则，所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立.综上所述，的最大值为27设函数（1）当时，判断函数的零点的个数，并且说明理由；（2）若对所有，都有
7、，求正数的取值范围【解析】（1）当时，的定义域是求导，得所以，在上为减函数，在上为增函数，（e）又（1），根据在上为减函数，则在上恰有一个零点；又，则（e），所以在上恰有一个零点，再根据在上为增函数，在上恰有一个零点综上所述，函数的零点的个数为2（2）令，求导，再令，则（）若，当时，故在，上为减函数，所以当时，（1），即，则在，上为减函数，所以当时，（1），即成立；（）若，方程的解为，则当时，故在上为增函数，所以当时，（1），即，则在上为增函数，所以当时，（1），即成立，此时不合题意综上，满足条件的正数的取值范围是，8已知函数f(x)=aex-1-x,对于，证明：当时，不等式恒成立【解析】当时
8、，有最小值，且最小值为， 构造函数，其中，则.当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，故，即，当且仅当时等号成立， 易知不等式等价于，当时，须有成立， 令，则，所以，在上单调递增，又，所以，等价于，下证当时，有不等式恒成立.一方面，所以，即， 所以，所以， 所以，只需证当时，有不等式恒成立即可，另一方面，由，可得，所以，又当时，显然有， 所以，当时，显然有不等式恒成立，所以，当时，显然不等式恒成立，9已知函数，（）当时，讨论函数的单调性；（）若在区间，上恒成立，求实数的取值范围【解析】（），当，即时，时，时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；当，即时，和时，时，所以在区间上单调递
9、减，在区间和上单调递增；当，即时，和时，时，所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当，即时，所以在定义域上单调递增；综上：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在定义域上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增（）令，原问题等价于在区间，上恒成立，可见，要想在区间，上恒成立，首先必须要（1），而，另一方面当时，由于，可见，所以在区间，上单调递增，故（1），所以在区间，上单调递减，（1）成立，故原不等式成立综上，若在区间，上恒成立，则实数的取值范围为10已知函数，其中是自然对数的底数（1）求函数在处的切线方程；（2）当时，恒成
10、立，求的最大值【解析】（1），（1），（1）， 所求切线方程为，即（2）由（1）（1）得，现证明不等式：，即证，令， 时， 递减， 时， 递增， 时， 递增， 时， 递减， 且等号不同时取得，即 成立，综上，11已知函数，其中（）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；（）求最大的整数，使得对任意，不等式恒成立【解析】（）假设函数的图象与轴相切于点，则有，即显然，代入方程中得，方程无解故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切；（）依题意，恒成立设，则上式等价于，要使对任意，恒成立，即使在上单调递增，在上恒成立（1），则，在上成立的必要条件是：下面证明：当时，恒成立设，则，当时
11、，当时，即，那么，当时，；当时，恒成立因此，的最大整数值为312已知函数（1）证明：存在唯一零点；（2）若时，求的取值范围【解析】（1）因为，由，得，当时，单调递减；当时，单调递增故时，函数取得最小值，取且，则（b），故存在唯一零点（2）设，设，则，易得，由题知，可得，当时，设，则，（仅当取等号），则在，递增，所以，可得，因此的范围是，13设函数，其中（）当时，求函数的零点；（）若对任意，恒有，求实数的取值范围【解析】（）当时，当时，令，即，解得；（）当时，令，即，此方程，无实数解由（），得的零点为，（）方法1当时，对于，得，显然函数在，上递减，要使恒成立，只需，即，得，又，所以符合题意（）当
12、时，由，知函数在上递增，在上递减以下对再进行分类当，即时，函数在上递增，在上递减此时（a），只需，即解得，即，又，所以符合题意（11分）当，即时，函数在，上递增要使恒成立，只需（a），即，得，又，所以符合题意由（），得实数的取值范围是方法2因为对任意，恒有，所以，即，解得下面证明，当时，对任意，恒有，当时，递增，故（a）成立；（）当时，故，成立由此，对任意，恒有，14.已知函数，为的导函数（1）讨论在区间内极值点的个数；（2）若，时，恒成立，求整数的最小值【解析】（1）由，得，令，则，当时，单调递增，即在区间内无极值点，当时，故，故在单调递增，又，故存在，使得，且时，递减，时，单调递增，故为的
13、极小值点，此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点；综上：当时，在区间内无极值点，当时，在区间内存在1个极小值点，无极大值点（2）若，时，恒成立，则，故，下面证明时，在，恒成立，时，故时，令，故，令，则，在区间，单调递增，又，故在，上单调递减，又，故存在，使得，且，时，递增，时，单调递减，故时，取得最大值，且，故单调递减，故，时，即成立，综上，若，时，恒成立，则整数的最小值115（）证明：，；（）若在，上恒成立，求的取值范围；（）已知函数，若正实数，满足，证明：当时，恒有【解析】（1）令 ，当，时，故在区间，上单调递增，从而，由于为偶函数，所以当，时， ，故，（2）结合（1）可知 ，所以，易证，故为原不等式成立的必要条件，下面证明充分性，当时， ，令 ，易知为偶函数设，则 ，令 ，则 ，故在，上单调递减，即，故在，上单调递减，故当时，原不等式在，上恒成立，综上，的取值范围为，（3）当时， ，在（2）中令， ，则有 ，下面证明即可，即证，解法一：，即 ，易知 在处取得最小值1，则，又，所以综上，当时，恒有 解法二：不妨令，在上，则在上单调递增，又（1），所以要使，则需，要证，即证，即证，又，所以即证，设，则，故在，上单调递增，（1）（1
