《高中数学复习专题05 导数中的洛必达法则(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学复习专题05 导数中的洛必达法则(解析版)（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题05 导数中的洛必达法则函数与导数应用的问题中求参数的取值范围是重点考查题型在平时教学中，教师往往介绍利用变量分离法来求解但部分题型利用变量分离法处理时，会出现“”型的代数式，而这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是利用洛必达法则洛必达法则法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件(1) f(x)0及 g(x)0；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g(x)0；(3) l，那么 l.法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件(1) f(x)及 g(x)；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g(x)0；(3) l，那么 l.1已知函数f(x)，曲线
2、yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x2y30.(1)求a，b的值；(2)如果当x0，且x1时，f(x)，求k的取值范围【解析】(1)f(x).由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)，故即解得(2)法一：由(1)知f(x)，所以f(x).设h(x)2ln x(x0)，则h(x).设k0，由h(x)知，当x1时，h(x)0，可得h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.从而当x0，且x1时，f(x)0，即f(x).设0k0，对称轴x1，所以当x时，(k1)(x21)2x0，故h(x)0，而h(1)0，故当x时，h(x)0，可得h(x)0，而h(1)0，故当x(1，)时，h(x)0，可得
3、h(x)0，x1时，k0，x1)，则g(x)2，再令h(x)(x21)ln xx21(x0，x1)，则h(x)2xln xx，又h(x)2ln x1，易知h(x)2ln x1在(0，)上为增函数，且h(1)0，故当x(0,1)时，h(x)0，h(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数，故h(x)h(1)0，h(x)在(0，)上为增函数又h(1)0，当x(0,1)时，h(x)0，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数由洛必达法则知， g(x)2 12 1210，k0，故k的取值范围为(，02设函数f(x)1ex，当x0时，f(x)，求a的取值
4、范围【解析】设t(x)(x1)ex1(x0)，得t(x)xex0(x0)，所以t(x)是增函数，t(x)t(0)0(x0)又设h(x)(x2)exx20(x0)，得h(x)t(x)0(x0)，所以h(x)是增函数，h(x)h(0)0(x0)由f(x)，得a，再设g(x)(x0)，得g(x)(x0)连续两次使用洛必达法则1，得g(x)，所以g(x)的下确界是.题设即“当x0时，1ex恒成立”，所求a的取值范围是.3定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)ln xax1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0；所以要使f(x)在R上有
5、5个零点，只需f(x)在(0，)上有2个零点所以等价于方程a在(0，)上有2个根所以等价于ya与g(x)(x0)的图象有2个交点g(x)，x(0,1)(1，)g(x)所以g(x)的最大值为g(1)1.因为x0时，g(x)；x时，由洛必达法则可知： g(x) 0，所以0ag(1)，所以0a0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为yx1.(1)试用a表示出b，c；(2)若f(x)ln x在1，)恒成立，求a的取值范围【解析】(1)ba1，c12a.(2)题设即“a(x1)，或a(x1) 恒成立”用导数可证函数g(x)(x1)2(x1)xln x(x1)是增函数(只需证g(x)xln x10(x1
6、)恒成立，再用导数可证)，所以g(x)g(1)0(x1)，当且仅当x1时g(x)0，得1)， .所以若a(x1)恒成立，则a，即a的取值范围是.5已知函数f(x)x2ln xa(x21)，aR若当x1时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围【解析】方法一(最值分析法)f(x)2xln xx2axx(2ln x12a)，因为x1，所以2ln x11，则当a时，f(x)x(2ln x12a)0，此时f(x)在1，)上单调递增，所以f(x)f(1)0，此时f(x)0恒成立，所以a；当a时，由f(x)x(2ln x12a)0，得xx0，且2ln x012a0，x0，则x1，)时，f(x)0，则f(x)
7、单调递增，f(x)minf()()2a()21e2a1a(e2a11)a1时，a，令g(x)(x1)，则g(x)，因为x1，则(x212ln x)2x0，故yx212ln x在(1，)上单调递增，则yx212ln x0，故g(x)0所以g(x)在(1，)上单调递增则g(x)g(1)，由洛必达法则知 所以由a恒成立，则a6已知函数f(x)(x1)lnxa(x1)，若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围【解析】方法一(最值分析法)由f(x)(x1)ln xa(x1)，得f(x)ln x1a(1)当1a0，即a1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上单调递增，所以f(x)f(1)0(2)当a
8、1时，令g(x)f(x)，则g(x)0，所以g(x)在(1，)上单调递增，于是f(x)f(1)2a若2a0，即10，于是f(x)在(1，)上单调递增，于是f(x)f(1)0若2a2时，存在x0(1，)，使得当1xx0时，f(x)0，于是f(x)在(1，x0)上单调递减，所以f(x)0a0，于是K(x)在(1，)上单调递增，所以K(x)K(1)0，于是H(x)0，从而H(x)在(1，)上单调递增由洛必达法则，可得2，于是a2，所以a的取值范围是(，27已知函数f(x)x(ex1)ax2(aR)(1)若f(x)在x1处有极值，求a的值(2)当x0时，f(x)0，求实数a的取值范围【解析】(1)f(
9、x)ex1xex2ax(x1)ex2ax1，依题意知f(1)2a10，a(2)方法一(最值分析法)当x0时，f(x)0，即x(ex1)ax20，即ex1ax0，令(x)ex1ax(x0)，则(x)min0，(x)exa当a1时，(x)exa0，(x)在(0，)上单调递增，(x)(0)0，a1满足条件当a1时，若0xln a，则(x)ln a，则(x)0(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，(x)min(ln a)a1aln a0令g(a)a1aln a(a1)，g(a)1(1ln a)ln a0，g(a)在(1，)上单调递减g(a)1不满足条件，综上，实数a的取值范围
10、是(，1方法二(参变分离法)当x0时，f(x)0，即x(ex1)ax20，即ex1ax0，即axex1，即a恒成立，令h(x)(x0)，h(x)，令k(x)ex(x1)1(x0)，k(x)exx0，k(x)在(0，)上单调递增，k(x)k(0)0，h(x)0，h(x)在(0，)上单调递增由洛必达法则知，h(x)ex1，a1故实数a的取值范围是(，18已知函数f(x)(x1)ln(x1)若对任意x0都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围【解析】方法一(最值分析法)令(x)f(x)ax(x1)ln(x1)ax(x0)，则(x)ln(x1)1a，x0，ln(x1)0(1)当1a0，即a1时，(x)
11、0，(x)在(0，)上单调递增，又(0)0，(x)0恒成立，故a1满足题意(2)当1a1时，令(x)0，得xea11，x(0，ea11)时，(x)0，(x)在(0，ea11)上单调递减，在(ea11，)上单调递增，(x)min(ea11)0恒成立矛盾，故a1不满足题意综上有a1，故实数a的取值范围是(，1方法二(参变分离法)x(0，)时，(x1)ln(x1)ax恒成立，即a0)，g(x)令k(x)xln(x1)(x0)，k(x)10，k(x)在(0，)上单调递增k(x)k(0)0，xln(x1)0恒成立，g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递增由洛必达法则知g(x) ln(x1)11，a1，故实数a的取值范围是(，19设函数f(x)ln(x1)aexa，aR，当x(0，)时，f(x)0恒成立，求a的
