高中数学复习专题01 极值点偏移问题(原卷版)

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1、专题01 极值点偏移问题1极值点偏移的含义若单峰函数f(x)的极值点为x0,则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.极值点x0函数值的大小关系图示极值点不偏移x0f(x1)f(2x0x2)极值点偏移左移x0峰口向上:f(x1) f(2x0x2)右移x0峰口向上:f(x1) f(2x0x2)峰口向下:f(x1)2x0(x0为函数f(x)的极值点);(2) 若在函数f(x)的定义域上存在x1,x2(x1x2)满足f(x1)f(x2),求证:x1x22x0(x0为函数f(x)的极值点);(3)若函数f(x)存在两个零点x1,x2(x1x2),令x0,求证:f(x0)0;(4)若在函数f

2、(x)的定义域上存在x1,x2(x1x2)满足f(x1)f(x2),令x0,求证:f(x0)0.3.极值点偏移问题的一般解法3.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和,积相关的不等式的证明问题其解题要点如下:(1)定函数(极值点为),即利用导函数符号的变化判断函数的单调性,进而确定函数的极值点(2)构造函数,即对结论型,构造函数或;(3)对结论型,构造函数,通过研究的单调性获得不等式(4)判断单调性,即利用导数讨论的单调性(5)比较大小,即判断函数在某段区间上的正负,并得出与的大小关系(6)转化,即利用函数f(x)的单调性,将与的大小关系转化为与之间的关系,进而得到所证或所求3.2差值代换

3、法(韦达定理代换令.)差值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之差作为变量,从而实现消参、减元的目的设法用差值(一般用表示)表示两个极值点,即,化为单变量的函数不等式,继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解3.3比值代换法比值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点的比值作为变量,从而实现消参、减元的目的设法用比值(一般用表示)表示两个极值点,即,化为单变量的函数不等式,继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解3.4对数均值不等式法两个正数和的对数平均定义:对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:

4、(此式记为对数平均不等式)取等条件:当且仅当时,等号成立3.5指数不等式法在对数均值不等式中,设,则,根据对数均值不等式有如下关系:专项突破练1已知函数(1)求函数的单调区间;(2)当时,证明:2已知函数.(1)若是增函数,求实数a的取值范围;(2)若有两个极值点,证明:.3已知函数.(1)求的极大值;(2)设、是两个不相等的正数,且,证明:.4已知函数(1)讨论f(x)的单调性;(2)若,且,证明: .5已知函数(且)(1),求函数在处的切线方程(2)讨论函数的单调性;(3)若函数有两个零点,且,证明:6已知函数(1)求证:当时,;(2)当方程有两个不等实数根时,求证:7已知函数(1)若,证

5、明:;(2)若有两个不同的零点,求a的取值范围,并证明:8已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若(为的导函数),方程有两个不等实根、,求证:9已知函数(1)若,证明:时,;(2)若函数恰有三个零点,证明:10已知函数(1)若函数为增函数,求实数的取值范围;(2)若函数有两个极值点、求证:11已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数的图象与的图象交于,两点,证明:.12已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若函数有两个零点 ,且,证明:.13已知函数(1)若时,求的取值范围;(2)当时,方程有两个不相等的实数根,证明:14设函数,已知直线是曲线的一条切线.(1)求的值,并讨论函数的单

6、调性;(2)若,其中,证明:.15已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围;(2)求证:.16已知是实数,函数(1)讨论的单调性;(2)若有两个相异的零点且,求证:17已知函数,(1)讨论函数的单调性;(2)若函数在上有两个不相等的零点,求证:.18已知函数的导函数为.(1)判断的单调性;(2)若关于的方程有两个实数根,求证:.19已知函数.(1)设函数,且恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:;(3)设函数的两个零点、,求证:.20已知函数.(1)求的单调区间与极值.(2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.21已知函数,其中为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性;(2)若,且,证明:.22已知函数,其中(1)若,求的极值:(2)令函数,若存在,使得,证明:23已知函数.(1)求的单调区间(2)若的极值点为,且,证明:.24已知函数.(1)若有两个零点,的取值范围;(2)若方程有两个实根、,且,证明:.25已知函数,.(1)求证:,;(2)若存在、,且当时,使得成立,求证:.26已知函数,(1)求函数的单调区间和极值;(2)若存在,且当时,证明:

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