《高中数学复习专题07 导数中的同构问题(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学复习专题07 导数中的同构问题(解析版)(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题07 导数中的同构问题在学习指对数的运算时,曾经提到过两个这样的恒等式:(1)当a0且a1时,有,(2)当a0且a1时,有再结合指数与对数运算法则,可以得到下述结论(其中x0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)(3),(4),(6),再结合常用的切线不等式:,等,可以得到更多的结论(7),(8),(9),1已知不等式最小值为( )A. B. C. D. 【解析】,只需考虑其为负数的情况,令故 2已知对任意给定的的取值范围为: 【解析】显然成立,显然.3若对任意,恒有,则实数的最小值为()ABCD【解析】由题意可知,不等式变形为.设,则.当时,即在上单调递减.当时,即在上单调递增.则在上
2、有且只有一个极值点,该极值点就是的最小值点.所以,即在上单调递增.若使得对任意,恒有成立.则需对任意,恒有成立.即对任意,恒有成立,则在恒成立.设则.当时,函数在上单调递增当时,函数在上单调递减则在上有且只有一个极值点,该极值点就是的最大值点.所以,即,则实数的最小值为.故选:D4若关于x的不等式恒成立,则a的取值范围是_【解析】整理为:,其中,故,令,则,注意到:,其中,当时,令,解得:,令,解得:,则,满足题意;当时,令得:,令得:,则在上单调递增,在上单调递减,且,所以当时,不合题意,舍去;故不满足题意,舍去;当时,令得:,令得:,所以在上单调递减,在上单调递增,且,所以当时,不合题意,
3、舍去;当时,故不合题意,舍去.综上:a的取值范围是.5已知,对任意的,不等式恒成立,则的最小值为_.【解析】对于任意,不等式恒成立对于任意,即恒成立当时,;当,设,则,所以在上单调递增,由,知,即,即设,求导,令,得当时,单调递减;当时,单调递增;在处取得极大值,且为最大值, 所以时,不等式恒成立,故答案为:6若关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围为_【解析】若,时,此时不恒成立,令,时,在单调递减,单调递增,时,原不等式恒成立; 时,令,时,时,在单调递减,在单调递增,即,故答案为:.7已知函数,若,求的取值范围.【解析】将按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形:由移项得:即,两边
4、同时加()得即,设,则,所以单增所以,即设,则,所以在单减,在单增,所以,所以.8对于任意实数,不等式恒成立,求的取值范围.【解析】解法一:将变形为,(说明:将参数移至一边)两边同时乘x得(说明:目的是凑右边的结构)即(说明:目的是凑左右两边的结构相同)(#)设,则,单增故由(#)得,再令,则,易知当所以,即.解法二:将变形为,即,设,易知单增故(以下同解法一,从略).9已知函数(1)求函数的单调区间;(2)设函数,若函数有两个零点,求实数a的取值范围【解析】(1)函数的定义域为,函数的单调递增区间为;单减区间为(2)要使函数有两个零点,即有两个实根,即有两个实根即整理为,设函数,则上式为,因
5、为恒成立,所以单调递增,所以所以只需使有两个根,设由(1)可知,函数)的单调递增区间为;单减区间为,故函数在处取得极大值,当时,;当时,要想有两个根,只需,解得:所以a的取值范围是10已知,(1)当时,求函数的极值;(2)当时,求证:【解析】 (1),当时,即在上单调递减,故函数不存在极值;当时,令,得,x+0-增函数极大值减函数故,无极小值.综上,当时,函数不存在极值;当时,函数有极大值,不存在极小值(2)显然,要证:,即证:,即证:,即证:令,故只须证:设,则,当时,当时,故在上单调递增,在上单调递减,即,所以,从而有故,即11已知(1)当时,求的单调性;(2)讨论的零点个数【解析】 (1
6、)因为,所以,令,所以在单增,且,当时,当时,所以当时,当时,所以在单调递减,在单调递增(2)解:因为令,易知在上单调递增,且,故的零点转化为即,设,则,当时,无零点;当时,故为上的增函数,而,故在上有且只有一个零点;当时,若,则;,则;故,若,则,故在上有且只有一个零点;若,则,故在上无零点;若,则,此时,而,设,则,故在上为增函数,故即,故此时在上有且只有两个不同的零点; 综上:当时,0个零点;当或时,1个零点;时,2个零点;12已知函数(1)请讨论函数的单调性(2)当时,若恒成立,求实数的取值范围【解析】 (1)当时,在上递增当时,在,单调递减在上,单调递增(2)原式等价于,设,由(1)
7、当时,为增函数 , ,等式等价于恒成立,时,成立,时,设,设,所以在上为增函数,又因为,所以在上,为减函数,在上,为增函数, ,13已知函数.(1)若,求的单调区间;(2)是否存在实数a,使对恒成立,若存在,求出a的值或取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】 (1)因为,所以,即.当时,令,则,所以在单调递增,因为,所以,当时,;当时,所以的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)设,易知在单调递增.又当时,所以的值域为;当时,的值域为.所以的值域为.故对于上任意一个值,都有唯一的一个正数,使得.因为,即.设,所以要使,只需.当时,因为,即,所以不符合题意.当时,当时,在单调递减;当时,在单调
8、递增.所以.设,则,当时,在单调递增;当时,在单调递减.所以,所以,当且仅当时,等号成立.又因为,所以,所以.综上,存在a符合题意,.14已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若,求证:函数有两个零点,且.【解析】(1)定义域为,当时,在上单调递增;当时,由得,当时,单调递减,当时,单调递增;综上:当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;(2)当时,因为,所以,无零点.当时,由,得,即,设,则有,因为在上成立,所以在上单调递减,当时,所以等价于,即,所以的零点与在上的零点相同.若,由(1)知在上单调递减,在上单调递增,又, ,所以在和上各有一个零点,即在上有两个零点,综上有两个
9、零点.不妨设,则,相减得,设,则,代入上式,解得,所以,因为,所以,因此要证,只需证,即证,设,则,所以在递增,即,因为,所以可化成,又因为,所以.15已知函数.(1)当时,求函数的单调区间:(2)若在恒成立,求实数的取值范围.【解析】 (1)当时设,则即在递减,在递增,当,当而当所以当递减;递增.故函数增区间为,减区间为(2),令在递增,而,使,即当时,在递减,当时,在递增因为可变形为又在递增,由(*)可得故取值范围为16已知函数,(1)若,求函数的极值;(2)设,当时,(是函数的导数),求a的取值范围【解析】 (1),令,得或,当或时,当时,所以函数在(0,1)上单调递增,在(1,e)上单
10、调递减,在上单调递增,所以函数的极大值为,函数的极小值为(2),即,即,设,设,当时,当时,所以函数在(0,1)上单调递减,在上单调递增,即,则函数在上单调递增,则由,得在上恒成立,即在上恒成立设,当时,当时,所以函数在(0,e)上单调递增,在上单调递减,所以,故17已知,若对任意,不等式恒成立,求正实数a的取值范围【解析】由题意,恒成立,即恒成立,所以恒成立,构造函数,易知在R上单增,所以恒成立,即,令,当时,所以在上单调递减,当时,所以在上单调递增,所以,所以,解得,所以正实数a的取值范围.18已知函数.(1)求的单调区间;(2)证明:当时,.【解析】(1),设,则,当时,单调递增,当时,
11、单调递减,又,当或时,即单调递增,当时,即单调递减,综上,的单调增区间为,单调减区间为;(2),要证,即证,也就是证,设,则,当时,单调递增,由(1)可知当时,即,当时,所以,当时,.19已知函数(1)讨论f(x)的单调性(2)若a0,证明:对任意的x1,都有【解析】(1)由题意可得当时,恒成立,则在上单调递增;当时,由,得,由,得,则在上单调递减,在上单调递增综上,当时,在R上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增(2)证明:由题得,时,对任意的,都有,即,等价于,即.设,则由,得;由,得则在上单调递增,在上单调递减,故,即,即,当且仅当时,等号成立设,则由,得;由,得则在上单调递减,在上单调递增因为,所以有解,则,当且仅当时,等号成立即,即