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1、专题01 极值点偏移问题1极值点偏移的含义若单峰函数f(x)的极值点为x0,则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.极值点x0函数值的大小关系图示极值点不偏移x0f(x1)f(2x0x2)极值点偏移左移x0峰口向上:f(x1) f(2x0x2)右移x0峰口向上:f(x1) f(2x0x2)峰口向下:f(x1)2x0(x0为函数f(x)的极值点);(2) 若在函数f(x)的定义域上存在x1,x2(x1x2)满足f(x1)f(x2),求证:x1x22x0(x0为函数f(x)的极值点);(3)若函数f(x)存在两个零点x1,x2(x1x2),令x0,求证:f(x0)0;(4)若在函数f
2、(x)的定义域上存在x1,x2(x1x2)满足f(x1)f(x2),令x0,求证:f(x0)0.3.极值点偏移问题的一般解法3.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和,积相关的不等式的证明问题其解题要点如下:(1)定函数(极值点为),即利用导函数符号的变化判断函数的单调性,进而确定函数的极值点(2)构造函数,即对结论型,构造函数或;(3)对结论型,构造函数,通过研究的单调性获得不等式(4)判断单调性,即利用导数讨论的单调性(5)比较大小,即判断函数在某段区间上的正负,并得出与的大小关系(6)转化,即利用函数f(x)的单调性,将与的大小关系转化为与之间的关系,进而得到所证或所求3.2差值代换
3、法(韦达定理代换令.)差值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之差作为变量,从而实现消参、减元的目的设法用差值(一般用表示)表示两个极值点,即,化为单变量的函数不等式,继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解3.3比值代换法比值换元的目的也是消参、减元,就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点的比值作为变量,从而实现消参、减元的目的设法用比值(一般用表示)表示两个极值点,即,化为单变量的函数不等式,继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解3.4对数均值不等式法两个正数和的对数平均定义:对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:
4、(此式记为对数平均不等式)取等条件:当且仅当时,等号成立3.5指数不等式法在对数均值不等式中,设,则,根据对数均值不等式有如下关系:专项突破练1已知函数(1)求函数的单调区间;(2)当时,证明:【解析】(1),令,得x1,当时,单调递减;当时,单调递增,故函数的减区间为,增区间为;(2)由(1)知,不妨设,构造函数,故,故在上单调递减,又,即,又在上单调递增,即,得证2已知函数.(1)若是增函数,求实数a的取值范围;(2)若有两个极值点,证明:.【解析】(1)函数的定义域为,若是增函数,即对任意恒成立,故恒成立,设,则,所以当时,单调递减,当时,单调递增,所以当时,由得,所以a的取值范围是.(
5、2)不妨设,因为,是的两个极值点,所以,即,同理,故,是函数的两个零点,即,由(1)知,故应有,且,要证明,只需证,只需证,设,则,所以在上单调递减,因为,所以,即,又,及在上单调递增,所以成立,即成立.3已知函数.(1)求的极大值;(2)设、是两个不相等的正数,且,证明:.【解析】(1)因为的定义域为,当时,此时函数单调递增,当时,此时函数单调递减,所以,函数的极大值为.(2)证明:因为,则,即,由(1)知,函数在上单调递增,在上单调递减,因为、是两个不相等的正数,且满足,不妨设,构造函数,则,令,则.当时,则,此时函数单调递减,当时,则,此时函数单调递减,又因为函数在上连续,故函数在上单调
6、递减,当时,即,故函数在上为增函数,故,所以,且,函数在上为减函数,故,则.4已知函数(1)讨论f(x)的单调性;(2)若,且,证明: .【解析】(1)当时, , 所以单调递增;, , 所以单调递减;当时, 所以单调递减;, 所以单调递增;(2)证明: , , 即当时,由(1)可知,此时是的极大值点,因此不妨令要证,即证:当时,成立;当时先证此时要证,即证:,即,即即: 令 , 在区间上单调递增,式得证. , 5已知函数(且)(1),求函数在处的切线方程(2)讨论函数的单调性;(3)若函数有两个零点,且,证明:【解析】(1)当时,所以.,所以.所以函数在处的切线方程为,即.(2)的定义域为(0
7、,+), .当a0时, .在上,所以单调递减;在上,所以单调递增.(3)当,.由(2)知, 在上单调递减,在上单调递增.由题意可得:.由及得:.欲证x1+x22e,只要x12e- x2,注意到f(x)在(0,e)上单调递减,且f(x1)=0,只要证明f(2e- x2)0即可.由得 .所以令则,则g(t)在(e,2e)上是递增的,g(t)g(e)=0即f(2e- x2)0.综上x1+x22e.6已知函数(1)求证:当时,;(2)当方程有两个不等实数根时,求证:【解析】(1)令,因为,所以在上单调递增,所以,即当时,.(2)证明:由,得,易知在单调递减,在单调递增,所以.因为方程有两个不等实根,所
8、以.不妨设.由(1)知,当时,;当时,.方程可化为.所以,整理得.同理由,整理得.由,得.又因为所以.法二:由,得,易知在单调递减,在单调递增,所以.因为方程有两个不等实根,所以.不妨设.要证,只要证,只要证:.因为在上单调递增,只要证:.令,只要证,恒成立.因为,令,则,故在上单调递增,所以,所以在上单调递减,所以,故原结论得证.7已知函数(1)若,证明:;(2)若有两个不同的零点,求a的取值范围,并证明:【解析】(1)当时,定义域为令,则当时,;当时,;所以函数在上单调递增,在上单调递减,故,所以,得;(2)因为有两个不同的零点,则在定义域内不单调;由当时,在恒成立,则在上单调递减,不符合
9、题意;当时,在上有,在上有,所以在上单调递增,在上单调递减不妨设令则当时,则在上单调递增所以故,因为所以,又,则,又在上单调递减,所以,则8已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若(为的导函数),方程有两个不等实根、,求证:【解析】(1)因为,则,所以,所以,曲线在点处的切线方程为,即.(2)证明:因为,所以因为为增函数,所以在上单调递减,在上单调递增由方程有两个不等实根、,则可设,欲证,即证,即证,而,即,即,设,其中,则,设,则,所以,函数在上单调递增,所以,所以在上单调递减,所以,即,故得证9已知函数(1)若,证明:时,;(2)若函数恰有三个零点,证明:【解析】(1)时,函数,则,
10、在上单调递增,所以(2),显然为函数的一个零点,设为;设函数,当时,当时,故在上单调递减,在上单调递增由已知,必有两个零点,且,下证:设函数,则,由于,则,由(1)有,故,即函数在上单调递减,所以,即有,由于,且在上单调递增,所以,所以10已知函数(1)若函数为增函数,求实数的取值范围;(2)若函数有两个极值点、求证:【解析】(1)因为,该函数的定义域为,若函数为增函数,则恒成立令,令得,当时,单调递减;当时,单调递增,故,所以,因此(2)因为函数有两个极值点、,即方程有两个不等的实根、,因为在上递减,在上递增,所以,即、是的两个根,所以,则,所以,即证,即证由两式作差得,令,则,即只需证,即
11、证令,其中,则,故在区间上单调递减,当时,命题得证11已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若函数的图象与的图象交于,两点,证明:.【解析】(1)的定义域为令,解得令,解得所以的单调增区间为,减区间为(2)由(1)不妨设由题知,两式相减整理可得:所以要证明成立,只需证明因为,所以只需证明令,则只需证明,即证令记则易知,当时,当时,所以当时,所以当时,函数单调递增故,即所以,原不等式成立.12已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若函数有两个零点 ,且,证明:.【解析】(1)函数的定义域为,.当时,令,得,则在上单调递减;令,得,则在上单调递增.当时,令,得,则在上单调递减;令,得,则在上单调递
12、增.综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)证明:因为为的两个零点,所以,两式相减,可得,即,因此,.令,则,令,则,所以函数在上单调递增,所以,即.因为,所以,故得证.13已知函数(1)若时,求的取值范围;(2)当时,方程有两个不相等的实数根,证明:【解析】(1), ,设 ,当时,令得,当时,单调递减;当时,单调递增,与已知矛盾当时,在上单调递增,满足条件;综上,取值范围是(2)证明:当时,当,当,则在区间上单调递增,在区间上单调递减,不妨设,则,要证,只需证,在区间上单调递增,只需证,只需证设,则,在区间上单调递增,即成立,14设函数,已知直线是
13、曲线的一条切线.(1)求的值,并讨论函数的单调性;(2)若,其中,证明:.【答案】(1);在上单调递减,在上单调递增【解析】(1)设直线与曲线相切于点,;又,即;设,则,在上单调递增,又,有唯一零点,解得:;,则当时,;当时,;在上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)知:;当时,;当时,;要证,只需证;在上单调递减,只需证,又,则只需证对任意恒成立;设,;设,则,在上单调递减,又当时,在上单调递增,即在时恒成立,又,原不等式得证.15已知函数有两个不同的零点.(1)求实数的取值范围;(2)求证:.【解析】(1)定义域为,所以在上单调递减.,所以在上单调递增,所以在处取得极小值,也是最小值,又,所以先保证必要条件成立,即满足题意.当时,易知,;由以上可知,当时,有两个不同的零点.(2)由题意,假设,要证明,只需证明.只需证,又.即只需证,构造函数.,所以在单调递减.,即成立,即所以原命题成立.