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1、2024-2025学年辽宁省沈阳二十中高三（上）第三次模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z1、z2满足z1+z2=z1z2，若z1=1i，则|z2|=()A. 22B. 1C. 2D. 2 22.设Sn是数列an的前n项和，且a1=1，Sn=(2Sn+1)Sn+1，则a5S11=()A. 12B. 23C. 2D. 343.在半径为2的圆C上任取三个不同的点A，B，P，且|AB|=2 2，则PAPB的最大值是()A. 2+2B. 2+2 2C. 2 2+4D. 4+4 24.已知正四棱台下底面边长为4 2，若内切
2、球的体积为323，则其外接球表面积是()A. 49B. 56C. 65D. 1305.已知数列an的前n项和为Sn，an=2ncosn2，则S16=()A. 45(481)B. 45(471)C. 35(481)D. 35(471)6.当nN时，将三项式(x2+x+1)n展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：(x2+x+1)0=1 (x2+x+1)1=x2+x+1 (x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1 (x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1 (x2+x+1)4=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+1 若
3、在(1+ax)(x2+x+1)7的展开式中，x7的系数为15，则实数a的值为()A. 1B. 1C. 2D. 27.已知f(x)=memxlnx(m0)，若f(x)有两个零点，则实数m的取值范围为()A. (0,1e)B. (0,1e2)C. (1e,+)D. 1e2,+)8.已知ae2，b0，c0，当x0时，(exx a)(x+bxc)0恒成立，则abc3的最小值为()A. e327B. 127C. e39D. 19二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c则下列说法正确的是()A. ACCB0，则ABC是锐角三
4、角形B. 若cos2A+cos2Bcos2C=1，则ABC是直角三角形C. 若A+B2，则sinA+sinB1，则tanAtanBtanC110.若实数x，y满足x24xy+y2=6，则()A. |xy|2B. |xy|12C. x2+y22D. x2+y21211.如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且AB=AA1=2，BAD=60，M为线段D1C1的中点，N为线段B1C1的中点，点P满足BP=BC+BB1(01,01)，则下列说法正确的是()A. 若=1时，三棱锥PDBC的体积为定值B. 若=12时，有且仅有一个点P，使得PDPB1C. 若+=12，则|PN|+|
5、PC|的最小值为3D. 若=0，=12，则平面DPM截该直棱柱所得截面周长为9 5+7 136三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若命题“xR，都有mx22mx40”是假命题，则实数m的取值范围为_13.曲线y=lnx与曲线y=12ex2的公切线方程为_14.已知函数f(x)=2x3x2ex，g(x)=2x3x2lnx的零点分别为x1，x2，且x12，x22，则x11x22= _；若ax2x1恒成立，则整数a的最大值为_(参考数据：ln20.7，ln31.1，ln71.95，ln172.8.)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(
6、本小题13分)记Sn为等比数列an的前n项和，已知Sn=an+11(1)求an的通项公式；(2)设bn=an,n为奇数,1log2anlog2an+2,n为偶数,求数列bn的前20项和T2016.(本小题15分)已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB/CD，A1A平面ABCD，ADAB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1.N，M分别是线段B1C1和线段DD1上的动点，且C1N=C1B1，DM=DD1(01)(1)求证D1N/平面CB1M；(2)若N到平面CB1M的距离为 1111，求D1N的长度17.(本小题15分)某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光
7、体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加(1)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；(2)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望E(X)；(3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望E(Y)18.(本小题17分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA=3t
8、anC()若C=4，b=tanB，求ABC的面积S；()求证：2a22c2=b2；()当tanA1tanB取最小值时，求tanC19.(本小题17分)已知函数f(x)=ln(1ax)+12x2(a0)(1)证明：当a=1时，f(x)只有1个零点；(2)当ax20,1 x1x2+x1+x2+1g(x1)g(x2)x1x2参考答案1.C2.B3.D4.C5.A6.A7.A8.A9.BCD10.AC11.ACD12.4,013.2x2 ey e=014.2 615.解：(1)当n2时，an=SnSn1=(an+11)(an1)=an+1an，an+1=2an(n2)，等比数列an的公比q=2当n=1
9、时，由Sn=an+11得a1=a21，即a1=2a11，解得a1=1，所以an=2n1(2)由题意得，当n为奇数时，bn=an=2n1，当n为偶数时，bn=12(1n11n+1)，b1+b3+b5+b19=20+22+24+218=1(1410)14=13(4101)，b2+b4+b6+b20=12(113)+(1315)+(1517)+(119121)=12(1121)=1021，T20=b1+b2+b3+b20=(b1+b3+b5+b19)+(b2+b4+b6+b20) =13(4101)+1021=4103+1716.解：(1)证明：因为A1A平面ABCD，AD，AB平面ABCD，所以A
10、1AAD，A1AAB，又ADAB，所以AB，AD，AA1两两垂直，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 因为AB=AA1=2，AD=DC=1，则D1(0,1,2)，C1(1,1,2)，B1(2,0,2)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，所以C1B1=(1,1,0)，因为C1N=C1B1=(1,1,0)，所以N(+1,+1,2)，所以D1N=(+1,0)，又CB1=(1,1,2)，DD1=(0,0,2)，DM=DD1=(0,0,2)，所以M(0,1,2)，CM=(1,0,2)，设平面CB1M的法向量为n=(x,y,z)，所以nCM=xy+2z=0
11、nCB1=x+2z=0，令z=1，则n=(2,2+2,1)，所以nD1N=(2,2+2,1)(+1,0)=2(+1)(2+2)=0，所以nD1N，又D1N平面CB1M，所以D1N/平面CB1M；(2)若N到平面CB1M的距离为 1111，则 1111=|B1Nn|n|，又B1N=(1,+1,0)，所以 1111=|222222+2+2| 42+42+8+4+1，整理可得12232+13=0，解得=12或136(舍去)，所以N(32,12,2)，所以|D1N|= 94+14+0= 10217.解：(1)设“有女教师参加活动”为事件A，“恰有一名女教师参加活动”为事件B，则P(AB)=C41C21
12、C62=815，P(A)=C41C21+C22C62=35，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=81535=89(2)依题意知X服从超几何分布，且P(X=k)=C2kC42kC62(k=0,1,2)，P(X=0)=C42C62=25，P(X=1)=C41C21C62=815，P(X=2)=C22C62=115，所以X的分布列为： X012P25815115E(X)=025+1815+2115=23(3)设一名女教师参加活动可获得分数为X1，一名男教师参加活动可获得分数为X2，则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，P(X1=3)=P(X1=6)=12，E(X1)=312+6
13、12=92，P(X2=6)=P(X2=9)=12，E(X2)=612+912=152，有X名女教师参加活动，则男教师有2X名参加活动，Y=92X+152(2X)=153X，所以E(Y)=E(153X)=153E(X)=15323=13即两个教师得分之和的期望为(13分)18.解：()由题意，tanA=3tanC=3tan4=3，则sinA=3 1010,tanB=tan(A+C)=tanA+tanC1tanAtanC=3+1131=2，则sinB=2 55，所以b=tanB=2,a=bsinAsinB=23 10102 55=3 22，所以ABC的面积S=12absinC=123 222 22=32；()证明：由tanA=3tanC，可得sinAcosA=3sinCcosC，即sinA3sinC=cosAcosC=a3c，由余弦定理得：b2+c2a22bca2+b2c22ab=a(b2+c2a2)c(a2+b2c2)=a3c，化简得：b2+2c22a2=0，即2a22c2=b2；()由tanA=3tanC，可得：tanB=tan(A+C)=tanA+tanC1tanAtanC=tanA+13tanA1tanA13tanA=4tanAtan2A3，又tanA0，所以tanA1tanB=tanAtan2A34tanA=34tanA+34tanA2 3434=32，当且仅当
