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1、03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质03_02 一维单原子链一维单原子链 1. 格波的研究格波的研究物理模型（简谐近似）物理模型（简谐近似） 一维无限原子链一维无限原子链 每个原子质量每个原子质量m，平衡时原子间距平衡时原子间距a 原子之间的作用力原子之间的作用力 第第n个原子离开平个原子离开平 衡位置的位移衡位置的位移 第第n个原子和第个原子和第n1个个 原子间的相对位移原子间的相对位移第第n个原子和第个原子和第n1个原子间的距离个原子间的距离03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质平衡位置时，两个原子间的互作用势能平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移发生相
2、对位移 后，相互作用势能后，相互作用势能 常数常数 平衡条件平衡条件03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质简谐近似简谐近似 振动很微弱，势能展式中只保留到振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项二阶项相邻原子间的作用力相邻原子间的作用力 恢复力常数恢复力常数等 效03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质2. 原子的运动方程原子的运动方程 只考虑相邻原子的作用，第只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力个原子受到的作用力第第n个原子的运动方程个原子的运动方程 每一个原子运动方程类似每一个原子运动方程类似 N个方程组成的方程组个方程组成的方程组(方程的数目和原子数相同方程的数
3、目和原子数相同)，可有，可有N个解，而此时晶体的总自由度也为个解，而此时晶体的总自由度也为N。原子运动之间的耦合原子运动之间的耦合03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质3.解方程解方程把晶体看作是连续媒质，即把晶体看作是连续媒质，即.03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质令v2= a2/m-波动方程波动方程03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质它是一个简谐波，它是一个简谐波，q=2/是是波矢波矢。从物理上讲，视为。从物理上讲，视为“连续连续”，要求波长，要求波长原子间距原子间距;波动方程的通解：波动方程的通解：如果如果 a，不连续。必须直接求解方程不连续。必
4、须直接求解方程试探解：试探解：对应于连续情况下的解式，这里仅以对应于连续情况下的解式，这里仅以na代替代替x，这也是，这也是一个简谐行波，称它为一个一个简谐行波，称它为一个格波格波。可见，一个格波是晶。可见，一个格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的体中全体原子都参与的一种简单的集体运动集体运动形式。形式。寻求格波色寻求格波色散关系！散关系！03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质4. 色散关系色散关系-振动频率与波矢的关系振动频率与波矢的关系 得到得到-色散关系色散关系03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质连续介质中的机械波连续介质中的机械波5. 格波的意义格波的意义晶
5、体中的格波波长晶体中的格波波长 格波和连续介质波具有完全类似的形式格波和连续介质波具有完全类似的形式 一个格波表示的是所有原子同时做频率为一个格波表示的是所有原子同时做频率为 的振动的振动连续介质波中连续介质波中x表示空间任意一点，而格波中只取表示空间任意一点，而格波中只取na格点格点格波格波 简谐近似下，格波是简谐平面波简谐近似下，格波是简谐平面波格波波矢格波波矢03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质 格波的波形图格波的波形图 向上的箭头代表向上的箭头代表原子沿原子沿X轴向右振动轴向右振动 向下的箭头代表向下的箭头代表原子沿原子沿X轴向左振动轴向左振动 格波相速度格波相速度 不同
6、原子间相位差不同原子间相位差 相邻原子的相位差相邻原子的相位差03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质6. 波矢的取值波矢的取值和和布里渊区布里渊区格波格波相邻原子相位差相邻原子相位差 原子的振动状态相同原子的振动状态相同相邻原子相位差：相邻原子相位差：格波格波1的波矢的波矢q1相邻原子的位相差相邻原子的位相差 两种波矢两种波矢q1和和q2的格波中，原子的振动完全相同的格波中，原子的振动完全相同格波格波2的波矢的波矢q203_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质波矢的取值波矢的取值: 相邻原子的相位差取值相邻原子的相位差取值 波矢的取值范围，波矢的取值范围，第一布里渊区第一布
7、里渊区 只研究清楚第一布里渊区只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题的晶格振动问题 其它区域不能提供新的物其它区域不能提供新的物理内容理内容q03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质7. 玻恩卡门（玻恩卡门（Born-Karman）周期性边界条件周期性边界条件 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的 每个原子的振动形式都一样每个原子的振动形式都一样 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长 链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述目标：求出目标：求出q=?如何解决这
8、一问题？如何解决这一问题？玻恩卡门（玻恩卡门（Born-KarmanBorn-Karman）周期性边界条件解决了这一）周期性边界条件解决了这一问题问题03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质 N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 处理问题时考虑处理问题时考虑 到环链的循环性到环链的循环性 N很大，原子运动近似为直线运动很大，原子运动近似为直线运动设第设第n个原子的位移个原子的位移再增加再增加N个原子之后个原子之后第第N+n个原子的位移个原子的位移则有则有 h为整数为整数03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质 h为整数为
9、整数波矢的取值范围波矢的取值范围h N个整数值，波矢个整数值，波矢q 取取N个不同的分立值个不同的分立值每个波矢在第一布里渊区占的线度每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区状态数第一布里渊区状态数N也是一维单原子链的自由度数，得到了链的全部也是一维单原子链的自由度数，得到了链的全部振动模振动模q03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质8. 格波的色散关系格波的色散关系 频率是波数的偶函数频率是波数的偶函数格波相速度格波相速度 不同波长的格波传播速度不同不同波长的格波传播速度不同 色散关系色散关系03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质 q空间的周期空间的周期频率极小值频
10、率极小值频率极大值频率极大值频率在频率在 之间的格波才能在晶体中传播之间的格波才能在晶体中传播其它频率的格波被强烈衰减其它频率的格波被强烈衰减 低通滤波器低通滤波器色散关系色散关系03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质1) 格波格波 长波极限长波极限当当 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质2) 格波格波 短波极限短波极限 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 不同频率的格波传播速度不同不同频率的格波传播速度不同03_02_一维单原子链 晶格振动与晶
11、体的热学性质长波极限长波极限下下短波极限短波极限下下相邻两个原子振动相位差相邻两个原子振动相位差 晶格可看作是连续介质晶格可看作是连续介质 相邻原子的振动相位相反相邻原子的振动相位相反3）相位特点）相位特点03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质结论：结论： 在在一一维维单单原原子子链链情情况况下下，每每个个q q值值对对应应一一个个, ,一一组组（，q q）对对应应一一个个格格波波，故故共共有有N N个个格格波波。这这N N个个格格波波的的频频率率与与波波矢矢q q的的关关系系由由一一条条色色散散曲曲线线所所概概括括，所所以以这这N N个个格格波波构构成成一一支支格格波波。一一维维
12、单单原原子子链只有链只有一支格波一支格波。通解通解意义：意义： 晶格中每一个原子（确定的晶格中每一个原子（确定的n n）参与了参与了N N 个独立个独立的简谐振动，任何一原子的实际运动是这的简谐振动，任何一原子的实际运动是这N N个格波所个格波所描述的简谐振动的线性叠加。描述的简谐振动的线性叠加。 03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质课后作业课后作业 1.什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？格波数目与自由格波振动模式数目是否是一回事？格波数目与自由度数有什么关系？格波波矢度数有什么关系？格波波矢q在
13、第一在第一BZ内取值数是内取值数是多少？多少？2. 已知一维单原子链，其中第已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格波，在第n个格点引个格点引起的位移为起的位移为 ， 为任意个为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为为kT，具体计算每个原子的平方平均位移，具体计算每个原子的平方平均位移(P580,3-1)。03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质7. 原子位移和简正坐标的关系原子位移和简正坐标的关系 第第q个格波引起第个格波引起第n个原子位移个原子位移第第n个原子总的位移个原子总的位移令令03_02_一维单原子链 晶格振
14、动与晶体的热学性质原子坐标和简正坐标的变换原子坐标和简正坐标的变换 线性变换为线性变换为么正么正变换变换 有有N个取值个取值03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质 动能和势能的形式动能和势能的形式 N项独立的模式项独立的模式动能的正则坐标表示动能的正则坐标表示原子位移原子位移 为实数为实数 正交性正交性03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质势能势能03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质 系统势能系统势能03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质哈密顿量哈密顿量 系统复数形式的简正坐标系统复数形式的简正坐标 势能势能 动能动能03_02_一维单原子链
15、晶格振动与晶体的热学性质 实数形式的简正坐标实数形式的简正坐标令令哈密顿量哈密顿量03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质能量本征值能量本征值声子声子 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子晶格振动的能量量子；或格波的能量量子当这种当这种振动模振动模处于处于 时，说明有时，说明有 个声子个声子本征态函数本征态函数 一个简正坐标对应一个谐振子方程一个简正坐标对应一个谐振子方程 波函数是以简正坐标为宗量的波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数谐振子波函数 03_02_一维单原子链 晶格振动与晶体的热学性质 声子是一种声子是一种元激发元激发，可与电子或光子发生作用，可与电子或光子发生作用 晶格振动的问题晶格振动的问题 声子系统问题的研究声子系统问题的研究 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的 声子系综是无相互作用的声子气组成的系统声子系综是无相互作用的声子气组成的系统 声子具有能量声子具有能量_动量，看作是动量，看作是准粒子准粒子晶格振动晶格振动 声子体系声子体系
