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1、 动量定理和动量矩定理完整描述了外力系对质点动量定理和动量矩定理完整描述了外力系对质点系效应，不反映内力效应。系效应，不反映内力效应。第六章第六章第六章第六章 质点系动能定理质点系动能定理质点系动能定理质点系动能定理 动能定理揭示了质点系动能的改变量与作用力动能定理揭示了质点系动能的改变量与作用力(内、内、外力外力)的功之间的关系的功之间的关系 。6-1 功与动能功与动能6-2 质点系动能定理质点系动能定理6-4 动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理的综合应用*6-3 碰碰 撞撞6-1-1 力的功6-1 功与动能功与动能6-1 6-1 功与动能功与动能功与动能功与动能6-1-2 质点系的动能
2、 （1 1）常力的功）常力的功（2）变力的功FMM1M2S功是代数量功是代数量，有正有负，其国际单位制为，有正有负，其国际单位制为 J（焦耳）（焦耳）。元功元功全功全功6-1-1 力的功1.功的一般概念得到功计算的解析式：由当有FNdr如法向约束反力FN 所作的功为零OFryxzdrM1M26-1-1 力的功 图示绕线轮沿斜面下滑S距离，计算所受各力的功。6-1-1 力的功问题问题 1. 1.一对内力, 两点距离变化时，内力功不为零。 如内力为引力时，距离减小，内力功为正；反之为负。变形体中内力功不为零，刚体中内力功为零。可见:2.内力的功6-1-1 力的功发动机内力作正功，汽车加速行驶；机器
3、中内摩擦作负功，转化为热能；人骑自行车,内力作功，加速行驶；外力使弹性体变形，内力作负功。 内力功实例:6-1-1 力的功3、几种常见力的功（1 1）重力的功）重力的功x即：即：重力作功仅与质点运动起始与末了位置的高度差有关，与运动轨迹形状无关。即与路径无关。质点系：其中，zC1与与zC2分别为质点系在起始位置与末位置质心的高度。（2）弹簧力的功 即：即：即：即：弹簧力所作的功与起始位置的伸长量1和末了位置的伸长量2 有关，与力作用点A的轨迹形状无关。 RAzdrF3 3）定轴转动刚体上力的功）定轴转动刚体上力的功F 注： 如果是力偶作用在刚体上，则力偶所作的功仍可由上式计算，其中M z 为力
4、偶对转轴 z 的矩，等于力偶矩矢M在 z 轴上的投影。6-1-1 力的功力系向质心C简化:合力FR 在刚体随质心平移中做功,合力偶在刚体绕质心C转动中做功。可推广到作一般运动的刚体。4 4）平面运动刚体上力的功）平面运动刚体上力的功取质心C为基点：力作用点的位移为6-1-1 力的功x最终有：思考：如图所示，力F大小不变，方向始终为解：解：将力F向质心A简化x也可采用下面的直接求解kG 思考思考思考思考: : : :铅垂面内的重物由平衡位置下移， 求弹簧力的功其中，G/k 为弹簧在平衡位置的伸长。RC圆轮纯滚动S后静止，求摩擦力与滚阻力偶的功 思考思考思考思考: : : : 已知滑动摩擦力对物A
5、所作的功滑动摩擦力对物B所作的功各力对系统所作的功滑动摩擦力对物A滑动摩擦力对物B各力对系统 思考思考思考思考: : : :AM作用于轮作用于轮A A上的转矩上的转矩MM与轮的转角与轮的转角 之关系为之关系为 M =kM =k2 2，其中，其中k k为常数。求圆轮为常数。求圆轮A A转动转动180180时，时，转矩所作之功。转矩所作之功。 思考思考思考思考: : : :5. 功率(1) (1) 力的功率单位时间内力所作之功，单位：瓦特，千瓦。力的功率单位时间内力所作之功，单位：瓦特，千瓦。即、力的功率等于切向力与其作用点速度的乘积。 即、作用在转动刚体上的功率等于力对转轴之矩与刚体转动角速度的
6、乘积。vFF转动刚体上力的功率(2) 机 械 效 率 机器工作时，须输入功率（Pi）。其中一部分用于克服摩擦力之类的阻力而消耗掉，只有一部分输出作为有用功率（Pe）。 例、车床电动机的功率Pi5.4 kW 。传动零件之间的摩擦损耗功率为输入功率的30 。工件的直径d100 mm。求：转速n=42 r/min 时允许的最大切削力。定义机械效率为解：车床正常工作时，工件匀速旋转。刀具的切削力F 与工件在切削力作用点的速度v 反向电机输入功率有用功率Fvn6-1-2 质点系的动能1. 质点系动能一般概念2) 柯尼西定理物体作功能力的度量1) 正标量6-1 功与动能功与动能只能随质心平移分解，其它点不
7、成立。故质系随质心平移动能相对平移系运动动能问题问题 1 1求坦克履带动能。已知 。 6-1 功与动能功与动能6-1-2 质点系的动能 由柯氏定理:6-1 功与动能功与动能6-1-2 质点系的动能1) 平移 2) 定轴转动3) 平面运动2. 刚体的动能6-1 功与动能功与动能6-1-2 质点系的动能 均质轮滚动，已知 ，求 。 问题问题 2 26-1 功与动能功与动能6-1-2 质点系的动能 均质轮与均质杆铰接，已知轮纯滚动，求图示位置之T问题问题 1 1 课堂练习、设各部件质量均为m，求系统的动能。5-3-3 质点系相对运动点的动量矩定理行星齿轮机构。vBA轮相对于三角块纯滚动6-2 6-2
8、 质点系动能定理质点系动能定理质点系动能定理质点系动能定理(包括内、外力功)6-2-1 动能定理的三种形式6-2-2 动能定理的应用1 .微分式2 .积分式主动力功内力功约束力功6-2-1 动能定理的三种形式外力功或故对受理想约束的质点系，只需要考虑主动力所作之功。理想约束，约束力功(之和)为零（如光滑铰，光滑面，不计重量的刚性杆，柔软而不可伸长的绳索） 运动员跑步时，脚底与地面之间的摩擦力并不作功，其作用是使运动员的动量增加；小腿的肌肉(比目鱼肌)收缩产生内力而作功，使运动员的动能增加。二者都是运动员跑步前进的驱动力。6-2-1 动能定理的三种形式已知力求加速度，由 , 对t求导数。1、动能
9、定理的应用特点 (3)常结合动量定理，动量矩定理某些分量方程求解。 (2) 理想约束系统，整体研究，方程中不出现约束力。(1)与位形变化有关 (突出空间过程)(4) 计入内力功，可广泛用于变形体静，动力问题。已知力求速度，由已知运动求力，由6-2 质点系动能定理质点系动能定理6-2-2 动能定理的应用例题1、求匀质杆从铅垂静止位置转动到水平位置时端点C的速度。已知弹簧原长3.9m，匀质杆质量2kg。解： 研究杆，由动能定理4. 典型例题 6-2-2 动能定理的应用由式(1)，解出注：弹簧力作正功题型特点:保守力做功，已知力求运动。6-2-2 动能定理的应用由有类似问题: 已知各构件质量为m，O
10、A=l，初瞬时，OA铅直，系统在常力偶M作用下，OA由静止转n圈后，求OA 。6-2-2 动能定理的应用 理想约束，非保守力做功，已知力求运动。思考、思考、已知：已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ，i12 = R2 / R1 M1 ， M2 。求：轴。求：轴的角加速度。的角加速度。5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理M1M2解得：M2M112运动学条件：5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理M1M2例2 图示系统，定滑轮C与动滑轮D视为均质圆盘，且定滑轮的质心位于转轴上。物块B与动滑轮D的质量均为m，物块A与定滑轮C的质量均为2m，求物块A自静止下降h的速度加速度。设轮与绳之间无相
11、对滑动。RR/2DBACh6-2-2 动能定理的应用hvBRR/2DBACvAaACD解： 研究整个系统，设A自初始位置下降h，其速度记为vA，由动能定理其中，T0为初位置的动能，有 T0=0。代入式(1)，6-2-2 动能定理的应用hvBRR/2DBACvAaACD式（2）两边对时间t求导，并注意到最终得 此题特点：理想约束，保守系统。由动能定理求速度（加速度）。可直接应用微分形式的动能定理求加速度6-2-2 动能定理的应用 在任意位置 时，轮与杆的速度瞬心分别为 和 ，且有 (a) 时，试求该瞬时轮心A的加速度。 3. 3. 已知 轮纯滚，且轮杆铰接6-2 质点系动能定理质点系动能定理6-
12、2-2 动能定理的应用(b) ，有 ，将式(b)代入，有再将式(a)代入上式，并经整理得(c) 由动能定理得6-2-2 动能定理的应用将 ，代入式(c)得若 时， ，则 2. 2.本题若将动能定理积分形式或机械能守恒式两边对时间t求导，可获同样结果。 1. 1.若取AB与水平方向的夹角 为变量时， 6-2-2 动能定理的应用思考：图所示系统中匀质圆盘A只能在斜面上作纯滚动。今将圆盘从静平衡位置向下移过10cm后放开。求当圆盘回到静平衡位置时斜面B的速度。1. 势力场力场 若质点在某空间任意位置处，都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场。例如：重力场、弹性力场、万有
13、引力场。势力场 若物体在某力场运动，作用于物体上的力所作的功只与力作用点的始末位置有关，而与点的运动轨迹无关，这种力场称为势力场，或保守力场。物体受到的力称为有势力或保守力。如重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场。动能定理的守恒式机械能守恒定律2、势能 在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0 ，有势力 所作的功，称为质点在点M相对于点M0 的势能。点M0的势能等于零，称为零势能点（面）。即3、常见有势力的势能(1) 重力势能注、注、势能是相对于零势能而言的。讨论势能首先须指定零势能点。(2) 弹性势能若取弹簧的自然位置为零势能点，则(3) 万有引力势能若取无穷远处为零势能点M1M0M2Ox
14、yz3、有势力的功与势能的关系：W1-0=W1-2+W2-0因为 W1-0=V1， W2-0=V2故：W1-2= V1- V2有势力的功等于质点系在运动过程的始末位置的势能差。设M0为零势能点 即、在有势力场中，质点系的动能与势能之和为一恒量，称为机械能守恒定律。保守系统在有势力作用下运动的质点系。机械能：系统的动能与势能的代数和E=T+V4、机械能守恒定律对有势系统，有思考、思考、木块由静止撞向墙头时的速度。由机械能守恒：初位置末位置解：木块作平动，取AD面为零势能面。即：思考、求匀质杆从铅垂静止位置转动到水平位置时端点C的速度。已知弹簧原长3.9m，匀质杆质量2kg。解： 取 x 轴为重力
15、势能零点，弹簧原长为弹性势能零点。始位置末位置例、铅直面内的系统，如图所示，轮均质，半径为r，在半径为R的圆弧轨道上纯滚动，其质量2m。杆OA均质，转角用表示，杆长R，质量m。扭簧刚度系数为k，当0时，扭簧无变形。建立系统的运动微分方程。rAOAOvA解、保守系统，0为零势能面AOvA由式(1)上式两边同时对时间t求导化简得微幅振动时，式(2)线性化为AOvA即为系统线性振动的固有圆频率。其中固有频率为线性振动周期*动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。 *动力学普遍定理提供了解决问题的一般方法，在求解比较复杂的问题时，往往需要根据各定理的特点，联合应用。 在很多实际问题中，可认为
16、约束反力不做功，此时应用动能定理分析速度变化和加速度比较方便。6-4 动力学普遍定理的综合应用*求解中还要注意应用动量，动量矩与机械能的守恒条件以及运动学的补充关系。OA*一般性的说明 问题1，如图所示，铅垂平面内长为l质量为m的均质杆，O端铰支，A端由软绳系挂，问A端绳剪断瞬时，O端支座之反力。 初瞬时问题，先求运动，再求力。（1）由定轴转动微分方程 OAmg(2)由质心运动定理OAaCyaCxOAmg问题2，如将问题1变为：A端绳剪断后，OA转过45o时，求O端支座之反力。 OAA45o问题的求解方法（一）：（1）由动能定理求杆的角速度与角加速度，其中末位置设为一般位置。 （2）由质心运动
17、定理求约束力。 以45o代入，得到特定瞬时杆的角速度与角加速度 OA从式(a)可见： 以0o代入，可求得杆运动初瞬时的角加速度。解法二、先由积分形式的动能定理求得45o时杆的角速度。再由定轴转动微分方程求得角加速度，最后由质心运动定理求约束力。 例1、图示铅垂平面内的管子内壁光滑，长l，一端固定，管子内放一长为l的链条。链条受扰动后自静止向管口外滑动，试求链条滑出长度x （xl）时的速度、加速度以及固定端的约束反力，设管子自重不计，链条匀质，单位长度质量为xx6-4 动力学普遍定理的综合应用解：取整体，由机械能守恒由动量定理Axy解出xv, aA6-4 动力学普遍定理的综合应用对固定端应用动量
18、矩定理A6-4 动力学普遍定理的综合应用其中：代入式（1）（3）：例2：均质杆OA长l，质量为m；均质圆盘A半径为r，质量为m1；且m1=3m。杆与盘中心铰连。初始时，OA水平，圆盘以匀角速0转动。求剪断系绳后，OA运动到450位置时，其角速度与角加速度，以及轴承O的反力。不计摩擦。OA 0解：解：考虑整体，先分析圆盘的运动。m1gA即圆盘以不变的角速度0作平面运动圆盘相对于质心的动量矩守恒6-4 动力学普遍定理的综合应用OA 0 0 l 代入 m1=3m 及450,得(1) 研究整体，由动能定理解出求导并注意到6-4 动力学普遍定理的综合应用(2)求轴承反力由质心运动定理代入解得6-4 动力
19、学普遍定理的综合应用OAmgm1 gyx例3 图示系统，定滑轮C与动滑轮D视为均质圆盘，且定滑轮的质心位于转轴上。设绳与轮之间不打滑，物块B与动滑轮D的质量均为m，物块A与定滑轮C的质量均为2m，求1、2两段绳的张力。RR/2DBAC12思路：为求力，可先求出运动。6-4 动力学普遍定理的综合应用dhvBRR/2DBACvAaACD解： (1)研究整个系统，由动能定理代入式(1)，6-4 动力学普遍定理的综合应用F1RACvACFC2mg2mg(2) 研究定滑轮C与物A由动量矩定理且RDBAC12即6-4 动力学普遍定理的综合应用aBDBaDF2mgmg(3) 研究动滑轮D与物B由质心运动定理
20、RDBAC12且6-4 动力学普遍定理的综合应用例 题 4AO Cx均质圆盘O放置在光滑的水平面上，质量为m，半径为R，匀质细杆OA长为l，质量为m。开始时杆在铅垂位置，且系统静止。求：杆运动到水平位置（1）杆的角速度和角加速度。（2）铰链O的力。(1)求运动，对整体应用动能定理解：取系统为研究对象，因轮置于光滑面上，作用于轮上的所有力均通过轮心，轮作平动。杆水平时，设轮速度为 vO。杆转动的角速度为 。AOCl /2CO由系统在水平方向的动量守恒得AOCl /2CO解得由系统在水平方向的质心加速度为零l /2CO(2)求力，研究OA杆由刚体平面运动微分方程取基点O：得FOyFOxmgaCxa
21、CyOCaCyOCaCx其中最终有FOyFOxmgaCxaCyOCAOC45ROA课堂练习1、质量为m的均质圆轮自A处沿固定圆弧轨道滚过45 角（如图所示），已知圆轮纯滚，初始静止，半径为r。固定圆弧轨道半径为R，求轨道的约束反力。RDCABO测验题1、如图所示机构，飞轮O视为均质,且轮心在转轴上，轮的半径R，质量m。不计质量的销钉C固定在轮缘上，可在滑杆AB的滑槽内滑动，滑杆质量为m。飞轮绕有一细绳，绳的下端系有一质量为2m的重物D。各处摩擦不计，若=0时系统静止。求=45时重物D的速度以及O处支座反力？测验题2 、质量为m，长度为2l 的均质细杆AB 在A 点由不计质量的软绳OA系挂，OA
22、绳长为l。AB杆的B端放在光滑水平面上。初瞬时，绳水平，AB杆铅直。由于微小扰动，AB杆的B端无初速地向右滑动，试求当OA绳运动到铅垂位置时，A处的约束反力。BAOl2l300课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习2 2 2 2、 图示系统，定滑轮D均质，质量为m，半径为r，转轴通过其质心。重物A质量为3m。轮B沿水平直线轨道纯滚动，其质量为3m，对于质心轴C的回转半径为=3r/2。一不计质量的软绳绕于轮B，跨过轮D，与重物相连。设绳与轮之间无相对滑动。求(1)重物A的加速度；(2)轴承D的约束反力； (3)支承面对轮B的摩擦力。Dr2rrBAC6-4 动力学普遍定理的综合应用aA vA解：解：(1
23、)研究整个系统，当其从某一固定位置运动到任意位置，重物 A 下落h 。由动能定理其中其中由运动学关系：由运动学关系：有：有：Dr2rrBAC D BvCdh6-4 动力学普遍定理的综合应用代入式代入式(1)，注意到，注意到aA vADr2rrBAC D BvC（2）已知运动求力，研究轮D与重物AvAFDxA3mgDFDyFTmg D6-4 动力学普遍定理的综合应用对固定轴D，由动量矩定理其中代入式(2)，得由动量定理由动量定理aAFDxA3mgDFDyFTmgD6-4 动力学普遍定理的综合应用又代入式（3），得aAFDxA3mgDFDyFTmgD2rrBCB BaCFTFsFN（3）已知运动求
24、力，研究轮B, 受力如图又得6-4 动力学普遍定理的综合应用问题：图所示系统中匀质圆盘A只能在斜面上作纯滚动。今将圆盘从静平衡位置向下移过10cm后放开。求当圆盘回到静平衡位置时斜面B的速度。6.4 碰撞动力学普遍定理在碰撞问题中的应用恢复系数 碰撞现象 碰撞力撞击中心碰撞与冲击的实例碰撞与冲击的实例打桩打桩碰撞与冲击的实例碰撞与冲击的实例锻压锻压碰撞与冲击的实例碰撞与冲击的实例弹射弹射碰撞与冲击的实例碰撞与冲击的实例汽车碰撞虚拟试验飞船对接锤重锤重4.45N4.45N碰撞前锤的速度 457.2 mm/s碰撞的时间间隔碰撞的时间间隔 0.00044s撞击力峰值撞击力峰值 1491 N静载作用的
25、335倍倍铁锤打击钢板碰撞的时间间隔 0.01s撞击力峰值 244.8 N静载作用的55倍倍铁锤打击人体 据有关资料介绍，一只重 17.8N 的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是 800km/h ，碰撞力可高达 3.55105N ，即为鸟重的 2万倍 ！这就是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。小资料撞击力的瞬时性撞击力在很短的时间间隔内发生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。 碰撞冲量撞击力在碰撞时间内的累积效应。tF6.3.1 碰撞过程的特点与简化 研究碰撞问题的两点简化（1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力（重力、 弹性力等）的冲量可忽略不计。（2）在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的
26、位移可忽略 不计。 上述的两点简化是在碰撞过程中所提出的假说，因此在具体问题的分析中，须分清碰撞过程和一般过程；分清运动的三个阶段，即撞前的运动，碰撞阶段和撞后的运动。思考：思考：1.A、B相碰后，C怎样运动？B向前运动，靠B、C间摩擦力，使C加速。 答：碰后瞬时 。答：物A受斜面法向冲量，同时受斜面方向摩擦冲量，故不守恒；若斜面光滑，则动量守恒。2.子弹水平射入物A，子弹与物A沿斜面方向动量守恒吗？6.3.2 材料对碰撞的影响恢复系数挤压变形弹性恢复1.碰撞的两个阶段产生最大挤产生最大挤压变形压变形y2.恢复系数正碰： 斜碰： e=0 完全非弹性 或 塑性e=1 完全弹性一般 0e由式(3)
27、例例4 4：乒乓球半径为r, 以速度 v 落到台面， v 与铅直线成角，此时球有绕水平轴O（与 v 垂直）的角速度 ，如图所示。设球与地面相撞后，因瞬时摩擦作用，接触点水平速度突然变为零。设恢复系数为e，求回弹角。O0O0解：解：乒乓球作平面运动，所受碰撞冲量如图。碰前：碰后：OA恢复系数：运动学条件：解得：讨论：削球：O0设有：拉球：球旋转速度很高 O0例例4 4、已知：l=1m, e =0.5, 滑动摩擦系数 f =0.25 , 杆和球质量相等。求： 经过多长时间后，球开始纯滚动。 CAB（1）碰撞前阶段 第一阶段 取AB杆为研究对象，根据动能定理，有CAB解：解：本题可分为碰撞前、碰撞和
28、碰撞后三个阶段，分 别进行计算。CI IvC（2）碰撞阶段第二阶段 分别取AB杆和圆球为研究对象，进行分析。IAI AB研究球C：恢复系数由(1)(3)，得碰撞结束时，球滑动研究AB：CaC mgFNF（3）碰撞发生后的阶段三阶段 根据刚体平面运动微分方程，有而轮开始纯滚动当即解出l/2l/2ADBC例例5 5已知：两直杆铰接后水平地落到一支座上，到达支座时速度为 v，并假定碰撞是塑性的。 求： 碰撞时动能的损失。解：分别取两杆为研究对象。由于碰撞是塑性的，对AB 杆有对BC 杆有ABD ABABI ID DI IB BBEC BCBCvEIB其中：运动学关系？碰撞结束后系统的动能：碰撞前系统的动能：BECABD ABAB BCBCvEI ID DI IB BIB 棒球击球手的手握在哪里 所受的撞击力最小？撞击中心 机器中，如何消除或减少受冲击时轴承的约束冲量？vC设冲击后速度如图.已知m，质心C，OC=d 。起始静止， 设刚体有质量对称面，且绕垂直于对称面的轴转动。用锄头，挥大锤，击棒球，若碰点与撞击中心接近，手感轻松。答：答： 求下图所示部件的撞击中心
