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1、分 数: _ 任课教师签字：_ 华北电力大学研究生结课作业学 年 学 期：2014-2015学年第一学期课 程 名 称：线性系统理论 学 生 姓 名：学 号： 提 交 时 间：2014年11月27日目录1.绪论12.球杆系统分析与建模12.1球杆模型简介12.2拉格朗日法建模12.3拉格朗日模型线性化及状态空间表达式求取43. 系统稳定性分析53.1有初始状态下求取系统响应曲线63.3稳定性判断并求取零极点分布图74.系统能控性判别84.1代数判据84.2模态判据84.3可控性与可稳定性105.系统极点配置105.1极点配置方法105.1.1状态反馈原理115.1.2输出反馈原理115.1.3
2、PID配置极点原理125.1.4三种反馈对比125.2.用状态反馈进行极点配置126.可观性分析及带状态反馈的状态观测器的设计166.1能观性分析166.1.1代数判据166.1.2模态判据166.3全维观测器原理176.4全维状态观测器结构176.5全维状态观测器设计186.6全维状态观测器Simulink仿真186.7全维状态观测器在干扰下的性能研究207.总结221.绪论球杆系统是控制理论中很经典的一个模型，通常用来检验控制策略的效果，并且很多实际系统都可以近似抽象为球杆模型，因此，对球杆系统的研究很有意义，本文从球杆模型的拉格朗日法建模入手，对球杆系统稳定性，能控能观性等控制特性进行分
3、析。2.球杆系统分析与建模2.1球杆模型简介球杆系统由底座，直流伺服电机，光滑导轨，小球等组成，导轨在伺服电机的带动下转动，小球在自身重力的作用下沿着光滑的金属导轨自由滚动，球杆系统简图如下，其中是小球在导轨上相对于导轨中心的位移量，以导轨左侧为正，是导轨相对于水平线的倾斜角。图1.球杆系统简图2.2拉格朗日法建模 为了对球杆系统进行研究，我们先对其进行建模，一般来说，这种球杆系统，运用拉格朗日方程建立其数学模型比较方便，拉格朗日方程如下： 其中T为系统的动能，包括小球的转动的动能，导轨转动的动能等，V为系统的势能，包括重力势能弹性势能等等，能量耗散函数为，为广义坐标向量，其中代表系统的自由度
4、，即完全描述系统运动特性需要的坐标数目，关于自由度在下文会具体分析，为作用于系统的外力。 以下为各个变量所表示的物理意义，M：导轨的质量，g：重力加速度 r：小球的半径 ：球的惯性力矩，：杆的惯性力矩，x：球的相对横坐标，y：球的相对纵坐标，：小球相对于导轨的转角，a：导轨与水平线的夹角，球杆系统受力分析如下：图1. 球杆受力分析 由图可知，小球的广义坐标向量有3个，即是小球坐标，小球转动角，杆的转角，而小球的速度和导轨转动的角速度可以用和来表达，因此，通过这三个变量，就能完全描述系统的各个状态，但是在实际中，由于小球是沿着导轨只做滚动不做滑动的，因此就有，也就是说小球的转动角和小球位移是一一
5、对应的，那么转动角就可以和合并到一起分析，这样球杆系统有两个广义坐标，。 要想计算系统的动能，就必须知道小球和导轨的转动惯量，根据资料得小球和导轨的转动惯量如下： 导轨是一个重心在重心的均匀旋转体，其角速度为，因此，导轨的动能为: 而小球的动能包括两部分，第一部分是小球沿着导轨运动的动能，用来计算，第二部分是小球的旋转动能，用小球的转动惯量和角速度来计算，公式如下： 其中，小球的转动角速度要考虑到导轨的运动，因此要加上导轨的角速度 因为导轨转动角速度速度很小，因此忽略后两项得： 而式中v是小球的线速度，根据资料可以用向量积来表示： 其中是小球相对于导轨的线速度，其数值等于，负号是指方向与规定的
6、正方向相反，指的是导轨的角速度，即，r是小球的质心在坐标系中的位置向量，计算式如下： 由于小球的半径R很小，同时导轨转动的角速度也很小，因此上式可以近似等于： 将以上结果带入小球动能计算公式中，得小球的动能为： 而前文已经得出导轨的动能，因此两式相加得系统的动能T为： 而系统的势能为小球的重力势能，以导轨水平位置为零点，得势能V为： 以上，系统的动能和势能均已求出，下面带入拉格朗日方程进行求解，由于篇幅原因，推导过程在本文中不再赘述，带入拉格朗日方程后得到关于导轨倾角的拉格朗日方程为： 小球坐标x的运动方程为： 球杆系统的运动方程为：2.3拉格朗日模型线性化及状态空间表达式求取 以上为通过拉格
7、朗日方法建立起来的系统运动方程，但是由于运动方程存在非线性环节，无法直接转化为状态空间表达式，需要通过在稳定工作点附近做近似线性化处理来消除，根据实际情况来说，我们一般考虑的是小球在一个确定点附近的稳定性，假设这个点为，那么这个点就是系统的静态工作点，动能计算式中项可以近似认为是，因此就可以近似认为是常数，运动方程中的相关倒数项就消失了，因此运动方程近似为： 进一步进行简化，由于导轨倾角a一般较小，因此近似取， 得到最终的运动方程为： 根据资料，小球半径、小球质量 选取状态变量，带入参数即得到以下状态空间表达式：3. 系统稳定性分析 系统的稳定性是系统的根本特性，一个不稳定的系统几乎是无法使用
8、的，为了分析一个系统，首先应该分析其稳定性，根据常识，球杆系统在不给予控制时是不稳定的，因为当导轨的倾角是固定时，小球将会在重力的作用下一直运动到导轨底部，即使导轨停留在水平位置时，小球可能处于静止状态，但是当导轨受到一个微小的扰动后，小球就无法回到原来的位置了。如果导轨既不是固定倾角，又不是水平状态，而是无规律摆动的话，那么小球更不可能稳定在一个位置，要使小球能够停在任意位置，必须对导轨的倾角施加控制，下面通过Matlab来分析系统在有初始条件下的稳定性。3.1有初始状态下求取系统响应曲线 设置小球初始位移为0.5，导轨初始倾角为5，进行仿真，程序如下：A=0 1 0 0;0 0 7 0;0
9、 0 0 1;18.873 0 0 0;B=0 0 0 3.495;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;T=0:0.005:10;U=zeros(size(T);X0=0.5 0 5 0;lsim(A,B,C,D,U,T,X0); 响应曲线如下：图3.有初始状态响应曲线 由上图可以看出，小球的位移和导轨的倾角在9秒钟以后都开始发散，从实际情况来说，因为小球有初始位置，导轨也有初始倾角，那么小球必然在重力的作用下加速下滚，而导轨的倾角也将越来越大，在一段时间后，小球的位置和导轨的倾角都将发散，这也从侧面说明所建模型是合理的。3.3稳定性判断并求取零极点分布图以上的分析是根据常识分析的，下
10、面，通过严格的判断方法来分析系统的稳定性，系统稳定性分为外部稳定和内部稳定，外部稳定是指输入和输出之间的关系，由系统传递函数分母的特征根决定，但是当系统不稳定的极点对消时，有可能出现假稳定的情况，而内部稳定是指系统内部变量能够趋于稳定，而由内部稳定可以推出外部稳定，反之则不行，因此现在只判断内部稳定，内部稳定的充要条件是特征矩阵的所有特征根具有负的实部，这样系统的能量就逐渐减小，最终达到稳定条件，如果特征值有正的实部，那么能量就不能衰减，导致系统不稳定。 求系统特征根分布的程序如下：A=0 1 0 0;0 0 7 0;0 0 0 1;18.873 0 0 0;B=0 0 0 3.495;C=1
11、 0 0 0;0 0 1 0;D=0;eig(A)pzmap(A,B,C,D);求得的特征根为ans = -3.3903 + 0.0000i 0.0000 + 3.3903i 0.0000 - 3.3903i 3.3903 + 0.0000i零极点坐标图如下：图4.系统零极点图 由系统零极点坐标图可知，系统有一个极点位于系统右半平面，并且有一对虚轴上的共轭虚根，因此，系统是不稳定的。4.系统能控性判别 由上文可知，系统是不稳定的，我们知道，稳定是一个系统能够使用的前提，一个不稳定的系统是没有意义的，但是在实际使用过程中，我们可以通过状态反馈或者输出反馈等方法来重新配置系统的极点，使系统达到稳定
12、，而重新配置极点的充要条件是：一、系统完全能控，这样所有的特征根都可以重新配置。二、系统部分可控，但是不可控极点拥有负的实部，而拥有正实部的极点是可控的，这种情况下我们依然可以通过配置可控极点使系统稳定。一般来说，判断能控性的方法主要有两种，一种是代数判据，一种是模态判据，下面分别通过两种方法判断系统能空性。4.1代数判据对于一个线性定常系统，系统完全能控的充分必要条件是能控判别矩阵满秩，而Matlab中可以通过ctrb命令轻松求得能控矩阵，配合求矩阵秩的命令rank可以判断矩阵是否能控。能控性判别程序如下：A=0 1 0 0;0 0 7 0;0 0 0 1;18.873 0 0 0;B=0
13、0 0 3.495;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;Uc=ctrb(A,B);N=rank(Uc)if N=4 disp(系统完全能控);elseif N4 disp(系统不完全能控)end结果为N = 4 系统完全能控由此可知，系统是完全能控的，也就是说我们可以通过状态反馈随意配置系统的所有极点。4.2模态判据模态判据分为特征根两两互异和特征根有重根两种情况，当特征根两两互异时，模态判据表示为，把系统化为对角标准型：以后，B矩阵，没有全为零的行即表示系统完全可控。当特征根有重根时，模态矩阵表示为，把系统化为约当标准型，这里假设系统有p重根和个互不相等的特征根，约当标准型如下：其中A矩阵为 B矩阵为化为约当标准型以后，只要最后一行不全为0，那么矩阵完全可控。根据前文可知，本系统的四个特征根两两互异，因此，只需化成对角标准型即可，Matlab程序如下：A=0 1 0 0;0 0 7 0;0 0 0 1;18.873 0 0 0;B=0 0 0 3.495;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;sys=ss(A,B,C,D);sysc=canon(sys,modal)运行后得结果：sysc = a = x1 x2 x3 x4 x1 -3.39 0 0 0 x2 0 4.996e-16 3.39 0 x3 0 -3.39 4
