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1、第十九章 含参变量的积分1 含参变量的正常积分1求下列极限：（1）；（2）；（3）解（1）由于在上连续，故在连续，所以，（2）由于在上连续，故在连续，所以，（3），由于在上连续，故在连续，所以，而对，有，因此，因而，2求，其中：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）（2）（3） =（4）3设为连续函数，求解 由于，所以， ，注记 该题的函数应为（这从该教材第二版亦可得到印证），则，所以， ， 4研究函数的连续性，其中是上连续且为正的函数解 当时，被积函数在相应的闭矩形上是连续的，因此在连续当时，而时，设为在上的最小值，则由于，而，故有若存在，必然或不存在，因而在时间断5应用积分号下求导法求下列
2、积分：（1）（）；（2）；（3）；（4）解（1）设，则有 ，即的确定较为困难，可如下进行，令，又，所以，即（2）设，则 ，所以，（3）将看作参变量，认为是常数，记可先设，则若，则，若作代换，得 ，所以，而，于是若或，则可以或代替或，因而总有（4）记，令，当时，无定义，但，故补充定义，则在连续（），从而在连续显然在点不连续，但分别在和连续，故有，或令， ，或积分之，； ，因为在连续，故，得，从而得，6应用积分交换次序求下列积分：（1）；（2）解（1） （2）记，则，所以，因此，7设为可微函数，试求下列函数的二阶导数：（1）；（2）解（1），（2）8证明：证明 ， ，所以，9设，问是否成立解 ，所
3、以，即，同样，因此不存在，而，因此，不成立10设，求证证明 ，函数在矩形域连续，亦在矩形域连续，故由积分号下求导数可得 （） ，当时，显然由的任意性，因此，而，所以，11设为两次可微函数，为可微函数，证明函数满足弦振动方程及初始条件，证明 ， ，所以，即满足弦振动方程又，即满足初始条件 2 含参变量的广义积分1证明下列积分在指定的区间内一致收敛：（1）（）；（2）；（3）；（4）（，）；（5）证明（1）因为当时，有，而收敛，由M判别法，在是一致收敛的（2）因为，成立，而收敛，由M判别法，在一致收敛（3）因为，成立，其中， 而收敛，所以在一致收敛（4）用Abel判别法已知 收敛（见第十一章3习题
4、3（3），又对每一个，函数关于是单调函数，且，有，由Abel判别法知在一致收敛（5）由于收敛（见p56-11.1-例10），又对每一个，函数是单调减函数，且，有，由Abel判别法，在一致收敛2讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：（1）；（2），（i）， （ii）；（3），（i）， （ii）；（4）解（1），当时积分为，由于，故：，使得有，因此积分非一致收敛（2）积分对于每一个定值是收敛的当时，；当时（i），由于，故，使当时，就有，于是，在区间上积分一致收敛（ii）由于时，故，对于足够小的值，故在上，积分不一致收敛（3）对任意固定的，积分都收敛，且（作代换）（i）取正数充分大，使得，显然，当时
5、，对一切，有，而积分收敛，由M判别法，积分在一致收敛（ii），有，故当充分大时，由此可知在非一致收敛，因而在更非一致收敛（4），有，因此，积分在非一致收敛3设在连续，当，时皆收敛，且求证：关于在一致收敛证明 由于收敛，因而，对一致收敛，当固定时，对在单调，且，因此，由Abel判别法，积分在一致收敛又因为收敛，故对亦一致收敛，当固定时，对在单调递减，且，由Abel判别法，积分在一致收敛因此，在上一致收敛4讨论下列函数在指定区间上的连续性：（1），；（2），；（3），解（1）当时，而，因此，在连续，在间断（第一类间断点）（2）因为，而当时，无穷积分收敛，在是常义积分，因而在有意义，当时， ，有，而
6、收敛，因而在一致收敛，因此，在连续，由的任意性可知，在连续（3），所以，使得，当时，有，及均收敛，所以及均在一致收敛，因而在一致收敛因此，在连续，因而在连续，由的任意性，知在连续5若在上连续，含参变量广义积分在收敛，在时发散，证明在不一致收敛证明 目的在于证明：，及，使得 （1）因为，因此，若能证明，及， （2）则（1）式即可得到剩下的问题在于证明（2） 因发散，故，使得 但在连续，从而在有界闭区域，上一致连续，于是对上述中，当，且，时，有，从而时，有，由此推得6含参变量的广义积分在一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列（其中），函数项级数在上一致收敛证明 必要性在一致收敛，故，当时，有，
7、对一致地成立对任意递增数列：，首先，成立其次，由于单调递减趋于，故对上述，满足，因此当时，因此，有，一致地成立，因此级数在上一致收敛于充分性采用反证法若不然，设对任一趋于的递增数列（其中），函数项级数在上一致收敛，但广义积分在不一致收敛，因此，使得取，使得；取，使得；取，使得；如此一直下去得到一列单调递增序列（令），且和一列，使得，即函数项级数在非一致收敛，矛盾！因此，在一致收敛7用上题的结论证明含参变量广义积分在的积分交换次序定理（定理1912）和积分号下求导数定理（定理1913）证明 积分交换次序定理 设在上连续，且含参变量的广义积分在上一致收敛，则，即 由于在一致收敛对任意递增趋于的数列
8、（），函数项级数在一致收敛于，由已知条件，在上连续，因而亦在上连续，故在连续，因此利用函数项级数和函数的逐项积分定理，有 积分号下求导数定理 设和都在上连续，若在上收敛，在上一致收敛，则在可导，且，即 由于在上收敛，故对任意趋于的递增函数列（），级数在上收敛于，又在上一致收敛，故函数项级数在上一致收敛，用函数项级数和函数的逐项求导定理，知8利用微分交换次序计算下列积分：（1） （为正整数，）；（2）（，）；（3） ()解（1）由于积分对一切在上一致收敛，得，由的任意性，知上式对一切成立同理对积分逐次求导，得，但，用数学归纳法，可得，所以，（2）当时，下设由于，因此不是瑕点，从而当，时，被积函数
9、在内连续（的函数值理解为极限值0），又由于，而积分收敛，由比较判别法，积分收敛当时，积分是一致收敛的事实上，由立即得到此结论于是在时可以在积分号下求导数，得，由的任意性知，上式对一切均成立，从而，其中为待定常数，令，则得所以，（3）设，由于与都是，上的连续函数，且此时，而积分与都收敛，因此积分与均在上一致收敛，从而可以在积分号下求导数所以，解得，其中是待定常数但，得9利用对参数的积分法计算下列积分：（1）（，）；（2）（，）解（1）（2）（，而时，这也可以归结到前面最终答案中的情形，所以，10利用计算Laplace积分和 解 先计算若，则，故下设，其中第四个等号应用了8（3）中的结果下面计算设
10、，则时，从而有，代入得（前者作负代换），所以，再计算显然 11利用计算Fresnel积分，和 解 在积分的两端乘以，再在上积分，则得.由于，而收敛，故积分对一致收敛，从而可以进行积分顺序的交换，得，上述等式右端的诸积分分别对，都是一致收敛的(，且及均收敛)于是，它们分别是(，)的连续函数，从而令，可在积分号下取极限，得，且由于上式右端后两个积分均不超过积分故，令取极限， 所以，同理可得，12利用已知积分，计算下列积分：（1）；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）解（1） （2）（3）由于，所以，（4）（5），设，令，则时，代入，得（前者作负代换），所以，13求下列积分：（1）；（2）解（
11、1）引入参变量，考虑含参变量的积分，则要求的积分为.由于，：，函数及均在上连续，且在一致收敛，(M判别法.，)，故在点，有，由的任意性，上式对一切成立所以，再由，即知，因此，（2）引入参变量：，考虑含参变量的积分，则要求的积分为由于在连续，且当(为任何有限正数)时一致收敛事实上，当时， ，而收敛()，于是是上的连续函数由的任意性知，当时连续而，由于当时，有 ，而积分收敛，于是在时是一致收敛的从而，由及的任意性知，上式对一切均成立所以， ()，令取极限，注意到在连续，可得，所以，因此，14证明：（1）在（）上一致收敛；（2）在（）上一致收敛证明（1）显然，瑕积分是收敛的，且，时，而积分收敛，由M判别法，知在上一致收敛（2），积分收敛(时是常义积分，时是瑕点为的积分)且时，而收敛，由M判别法知在 一致收敛3 Euler积分1利用Euler积分计算下列积分：（1）；（2）；（3）；（4） ；（5）；（6）；（7）（为正整数）；（8）；（9）（为正整数）；（10） （为正整数，）解（1）令，则，（2）（3）令，则，（4）令，则，所以，（5）令，则时，；时，（6）先作代换，再令，因此，（这里用到了函数的余元公式，参见陈纪修等数学分析（下册）P377-379，高等教育出版社2000年4月）（7）令 则，有
