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1、优化结构设计W. PRAGER 3摘要。数学技术被应用在典型的优化结构设计问题这一领域。介绍一个关于一个杆的设计为了描述最大化绕度和显示怎样适当的离散化可能导致一个非线性的问题，在这种情况下的复杂的程序。最优布局已经被讨论了一段时间。一种新的建立最优标准的方法已经说明了被设计一个静不定梁或一个变截面的绕度在一个单一的集中压力下。其他的应用这个方法被简单的讨论，并且用一个多功能的设计的简单的例子来结束这份文件。1 。导言结构最优化的最普通的问题或许可以表述如下：从所有的满足某些限制的结构设计，选择其中一个最低成本的。注意这个声明并不定义一个唯一的设计;可能同时有几个最优化的设计有相同的成本。典型
2、的设计将考虑满足变形或受力的最大约束，或者最小约束的承载能力，屈服载荷，或固有频率。单一的和多用途的结构都要被考虑，即是受单一因素或多重因素的约束。设计声明中的花费也许会参照到制造成本或总生产成本和生产中结构的寿命。 在航天结构中，燃油成本需要执行最大的重量但最小的质量是他们设计的唯一目标，这个观点将要使用在下面文章。 在这个文献的第一部分，优化设计的典型问题将用已经应用这个方面的数学技术来说明第二部分将要关注有广泛应用的有很大前途的最近发展的技术这整个文章，它强调具有最优整体结构是必须被仔细的定义没有意义的方案是要避免的。事实上还要强调指出某些直观的最优准则对工程师来说不一定提供真正的最优解
3、。为了更清晰的介绍设计原则，大多数例子是关于单一约束的结构尽管多约束的结构是具有更大的实际意义。2 。离散去探索具有数学性质的最优化结构问题，这是经常有用的用一个分立模拟取代连续问题。考虑，例如，简直弹性梁在图。 1最大偏转所产生的给予负荷6P不会超过给定值。对于离散性问题，用一系列用弹性铰链连接的刚性棒取代梁。 图1.分立模拟弹性梁。在图1中，紧紧三个铰链已经被介绍了。但是，为了得到真实的结果，这个离散取决于铰链的数目。弯矩可以转换铰链数目i和角度的关系为 = (1)其中是弹性刚度的铰链。由于是静定梁， 在铰链上的弯矩独立的刚度；因此，=5Ph=, =3Ph=, =Ph=. (2) 接下来，
4、弯曲角度将被视为最小。在一个直角坐标系的实际空间中,i=1,2,3,这个非负性质的弯曲角度和在铰链上的绕度定义凸可行域。 ，0, 5+3+-6/h0, 3+9-3-6/h0, （3） +3+5-6/h0，作为接下来将要讲的例子， 一组质量的刚度假定达到刚度的一定比例。这个设计即是 +=Min 或，通过公式（2）5/+3/+1/=Min (4) 值得注意的是 通过公式（3）-（4），一个局部优化对于整体优化必须的。这句话很重要因为刚刚开始的设计对于满足所有约束的相邻设计是没有什么实际价值的。也要注意到 优化总体上 不会对应到位于一个边的或恰好位于一个顶点区域的一个点的空间设计。这句话直观的表明冲
5、突的约束不一定是有用的。假如，举个例子来说，设计,条件=.假如是刚度的最小变量，设计+,-,拥有相同的质量的理想绕度为， 满足,=而且三个刚度降低一定的比例直到第一个铰链的绕度是。假如这个探讨是正确的降低结构只来那个的过程能够被重复直到铰链1和2有相同的质量&。接下来设计的更改和都有想同的少量的增加而则降低两倍目的是保持质量常数。用这种方式，可能有争论关于；优化设计必须对应一个边上的一个点或者可行性区域上的顶点，由于优化设计，两三个不平等的约束就必须列方程。这冲突的约束通常会出现在工程界，显然用手是不能完成的。具有不平等约束绕度的最小重量梁的设计近期已经已经讨论了被Haug and Kirms
6、er（见1）较早前调查（见，例如，参2-4 ）在某一特定点所涉及的不等式约束对挠度，举例来说，在载荷集中在一个点上。在特殊情况下该点的最大绕度位置是已知的，举例来说，从对称的考虑，一个约束拥有最大绕度能够被指定通过这种方法。同样的Barnett（见3 ）已经指出，然而，约束一个具体而不是最大偏转的或许会出现自相矛盾的结果。举例来说，当一些载荷对横向是下降的然而其他的是上升的，也许会发现某些点的绕度是零。因为他仍然是零当所有的刚度都都以一定比例下降，这个设计的约束是相容性的任意小质量的约束。3 。布局优化在前面的示例，类型和布局结构（简单支持，直梁）被给予并且一些某些地方的参数（刚度值）是设计师
7、选择的。一个更有挑战性的问题就是类型和/或布局也必须选择最佳的。数字显示，由桁架支持的给出点的应力载荷P和Q ，即连接杆组成的结构，布局就是要去尽量减少重量。为了简化分析，Dorn, Gomory,and Greenberg（见5 ）通过划分网格其横向间距L和垂直间距的h描述这个问题（图2 a ）优化是接下来发现需要解决的线性规划。优化布局取决于质量的比例h/L和P/Q=0,0.5,和2.0. 图.2 .优化布置的桁架根据多恩，戈莫里，格林伯格（见5 ） 。因为h/L=1和P/Q是一个给定数，优化值是唯一的除开某些临界值P/Q，其中优化布局的变化，举例来说，从图2c到踢2d。接下来例子，然而，
8、承认一个无限大的优化布局是所有相关的拥有同样重量的结构重量。 三个同样大小的作用力P，彼此之间成120 角，已经给出的点成等边三角形（图3a）。这些连接点连接的构架用最小质量设计。当上界约束提供轴向应力在任何杆。数据3b和3c是可行的布局。这些力作用在静定机构的杆上之后从平衡的角度考虑,每个杆件的横截面都会有一个大小的横向应力。接下来讨论Maxwell的观点（见6，PP第175-177 ）表明两个设计有相同的质量。设想飞机都是用相同的材料组成的，单位平面产生的张力达到e对所有的线性元素。通过虚拟的规律，这个杆件P上所有的点的位移所产生的虚拟功等价于内部虚拟功=F 每个杆件受力为F 力在杆方向的
9、虚拟位移为,如果杆件的横截面积是A长度是L，则有F=A 和=L则有=AL=V （5）V是使用的所有材料的体积。现在得到功取决于载荷和所有点的虚拟位移除开独立布置 图。 3 。选择最优设计。的杆件；他等价于两个机构如果下面=和（5）这两个构架使用相同数量的材料。 如果两个构架的横截面积都减半， 每个新的构架能够驱动满载荷强度P/2并且不违反设计约束.按图3d的方式叠加杆件另外用相同质量的构建按图3d和3c叠加所有构架加载满载荷P。图。 4 。替代解决问题，在图。第3 a 图4显示的另一个解决问题的方法。所有重杆件的中心线是圆弧的。每个杆件的轴向力和他们的轴向应力有关其他轻些的杆件。他们也根据轴向
10、拉伸应力，除开杆件AO,BO和CO，组成圆锥。正常情况下杆件的边缘区域是受力的密集区域。如果紧紧是有限的数目被使用就像图4并且这些边缘是多变形而不是圆弧 ，这就是重量稍稍重一点点的结果。 首先申明，然而，如果杆件连接件（节点板和铆钉或焊接）的质量被考虑其中这个就不是有效的。 在图4中的杆件也许可以被有厚度统一材质均匀的杆件替代。然而质量是取胜之本，设计也是这样的，然而，设计构架的时候遇到的狭隘的问题要被排除。在这种情况下，被排除的设计将不会比其他的设计的质量更轻。然而，除开这一类对一个最优的进行有足够广度定义的，或许紧紧对一系列降低质量的设计进行融合一个最优的这不是考虑的范围之内 图。 5 。
11、优化结构转递周边荷载至中环环的桁架而非磁盘状 图5对这句话进行了说明。 在周边的离散的径向载荷等价于中央形成一个环状的小质量的构件。如果这个声明的结构将要被表达磁场形状的连续变厚度所取代，优化后的结构如图5要为排除。注意清楚看看图5他所显示的紧紧是质量大的成员。这些之间，质量轻些的成员之间关系是稠密的，他们之间是以螺线形状相交的。 这个问题在图3中已经有一个解决方案，每个构件都紧紧是包含受力的杆件。图6说明了一个问题既要使用没有受力的也要使用受力的并且只有唯一解。上方的数据是横向载荷P会产生弯曲，底部的刚性结构可以看为是无限小的质量，在杆件上的应力应该在-和之内。 这个最优的构架边缘杆件的质量
12、较大；质量大的构件中间的构件的质量较轻，由图6表达。注意在位移密集的杆件连接处定义一个位移区域他的的基点固定。 一个移动的受力区域都拥有这一规律即 =/ E和=-/E 其中E是弹性模量。事实上，如果u和v是位移分量类似于直角坐标系中的x和y，那么+就是个常量有以下的关系即 +=0， （6）其中x和y显示着不同的坐标关系。类似的，事实上最大的主应变e1拥有连续的线性关系 4*-(+)( +)=-4 （7）从公式（6）中可以看出，其中存在函数如下 =,=- （8） 把 公式（8）代入公式（7）中则有 4 +=4 (9)沿着根部弧有，=0,则可以推到出 =0， =0 （10）其中是沿着根部弧的微变量
13、。微分方程（9）是一个双曲线，其特点主应变是线性变化的。柯西条件在公式（10）中元素在根部是是独特的，并且和公式（8）位移也有关系 图。 6 。在传输载荷P下弯曲和刚性壁的独特的优化结构 这些位移现在将使用作为真正位移在虚功原理在一个任意的结构上其载荷P传达到基座弧（图6）并且每个连杆都在一个轴向应力为o之下使用Maxwell公式则有，可以得到= 其中=A并且因为每个单位的拉伸或者压缩量超过/E就不是线性变化了，=F (/E)V, (11)其中V是所有材料的总体积。 接下来，设想第二中结构它是由有规律线性应变的的连杆组成并且他要考虑到虚拟的移动区域和底部相应的应变 涉及到结构的质量将要用星号标
14、记。就像前面所讲的那样运用虚拟原理，最有=,但是*=并且=则有 = (12)则可以看出=,比较表达式（11）和（12）则可以看出第二种方案的结构使用的材料要比第一种方案少。刚刚介绍的观点来自于Michell（见7），然而，是一个纯粹的静态的边界条件，因此不能达到一个独特的优化结构。对一个独特的优化涉及来说最重要的是运用运动学边界条件已经被作者指出（见8） 图。 7 。几何布局优化。 图7 说明了一个重要的具有几何性质的在有规律的应变和无规律的应变组成的区域种的正交曲线应变 让由ABC和DEF组成的两个固定曲线。角度是由一个曲线上的切线和另外一个曲线上点的切线相交的夹角。在平移的理论下，正交的曲线他的几何性质可以表明他最大的剪应力（滑移线）的方向在这个背景下，它们通常后来被Hencky (见. 9) and Prandtl (见. 10)命名；它们的结果已经被广泛的应用（见，例如，见。11-13） 图。 8 。优化布置时，可用空间范围内垂直通过A和B 。 图8显示了最优空间的布局即可用的结构空间是垂直连线A和B之间的范围 。因为这个固定支座弧是一个直
