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1、第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是MON的平分线上一点，过点P作PAOM于点A，PBON于点B。 结论：PB=PA。模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。模型实例（1）如图，在ABC中，C=90，AD平分CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是 ；（2）如图，1=2，+3=4。 求证：AP平分BAC。热搜精练1如图，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。 求证：BAD+BCD=180。2如图，ABC的外角ACD的平分
2、线CP与内角ABC的平分线BP交于点 P，若BPC=40，则CAP= 。模型2 截取构造对称全等 如图，P是MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。 结论：OPBOPA。模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。模型实例（1）如图所示，在ABC中，AD是ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；（2）如图所示， AD是ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB与AC-AB的大
3、小，并说明理由。热搜精练1已知，在ABC中，A=2B，CD是ACB的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC的长。2已知，在ABC中，AB=AC，A=108，BD平分ABC。 求证：BC=AB+CD。3如图所示，在ABC中，A=100，A=40，BD是ABC的平分线，延长BD至E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P是MO的平分线上一点，APOP于P点，延长AP于点B。 结论：AOB是等腰三角形。模型分析 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系
4、了起来。模型实例 如图，已知等腰直角三角形ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足为E。求证：BD=2CE。热搜精练1如图，在ABC中，BE是角平分线，ADBE，垂足为D。 求证：2=1+C。2如图，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于点E。 求证：BE=（AC-AB）。模型4 角平分线+平行线如图，P是MO的平分线上一点，过点P作PQON，交OM于点Q。 结论：POQ是等腰三角形。模型分析 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。模型实例 解答下列问题：
5、（1）如图所示，在ABC中，EFBC，点D在EF上，BD、CD分别平分ABC、ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；（2）如图所示，BD平分ABC、CD平分ACG，DEBC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由。（3）如图所示，BD、CD分别为外角CBM、BCN的平分线，DEBC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？ 热搜精练1 如图，在ABC中，ABC、ACB 的平分线交于点E，过点E作EFBC，交AB于点M，交AC于点N。若BM+CN=9，则线段MN的长为 。2如图，在ABC中，AD平分BAC，点E、F分别在BD、AD上，EFAB， 且DE=CD。求证：EF=AC。3 如图，梯形ABCD中，ADBC，点E在CD上，且AE平分BAD，BE平分ABC。求证：AD=AB-BC。
