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1、结论一奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的xD,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0D,则f(0)=0.例1已知函数和均为奇函数， 在区间上有最大值5，那么在上的最小值为A. 5 B. 3 C. 1 D. 5【答案】C【变式训练】1已知函数，则=_2已知函数x的最大值为，最小值为，则_结论二 函数周期性问题已知定义在R上的函数f(x),若对任意xR,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论
2、如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.例2【山东省德州市2019届高三期末联考】已知定义在的奇函数满足，当时，则（ ）A B1 C0 D-1【答案】D【解析】根据题意，函数f（x）满足f（x+2）f（x），则有f（x+4）f（x+2）f（x），即函数是周期为4
3、的周期函数，则f（2019）f（1+2020）f（1），又由函数为奇函数，则f（1）f（1）（1）21；则f（2019）1；故选：D【变式训练】1.【2018山西太原第五中学模拟】已知定义域为的奇函数满足,且当时, ,则A. B. C. D. 2. 已知函数是周期为2的奇函数，且时，则_结论三函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点对称.特别地,若f(a+x)
4、+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.例3【2018四川省广元市统考】已知定义在上的函数满足， ，若函数图象与函数图象的交点为，则（ ）A. 8072 B. 6054 C. 4036 D. 2018【答案】B【变式训练】1. 【2018安徽省六安市第一中学模拟】设函数是定义在上的偶函数，且，当时， ，若在区间内关于的方程有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2.【2019年安徽省宿州市十三所重点中学】定义在上的偶函数，其图像关于点对称，且当时，则（ ）A B C D结论四反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单
5、调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=ax与y=logax(a0且a1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0, f(x0)与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.例4【2019年上海市浦东新区】已知函数的图像经过点，反函数的图像经过点.（1）求的解析式；（2）求证：是增函数.【答案】(1) (2)见证明【解析】 (1)由题意可得：， ， （2），任取且，= 又 是增函数.【变式训练】【2018四川省成都市9校联考】已知函数（， 为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数取值范围是A. B. C.
6、 D. 结论五两个经典不等式(1)对数形式:ln(x+1)x(x-1),当且仅当x=0时,等号成立.(2)指数形式:exx+1(xR),当且仅当x=0时,等号成立.例5设函数f(x)=1-e-x.证明:当x-1时, f(x).证明x-1时, f(x)x-1,1-e-x1-e-x(x-1)(x-1)x+1ex(x-1).当x-1时,exx+1恒成立,所以当x-1时, f(x).【变式训练】1.已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为()2.已知函数f(x)=ex,xR.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.结论六三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任
7、意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数与,使得=+,且+=1.特别地,当P为线段AB的中点时,=+.例6【福建省厦门市2019届高三上期末】在平面四边形中，面积是面积的2倍，数列满足，且，则（ ）A31 B33 C63 D65【答案】B【解析】，即，数列是以为首项，以2为公比的等比数列，即，所以.【变式训练】1.【2018河南省郑州市质量检测】如图，在中， 为线段上靠近的三等分点，点在上且，则实数的值为（ ）A. 1 B. C. D. 2.【河北省唐山一中2019届高三上期中】如图，在ABC中，过点M的直线分别交射线AB、AC于不同的两点P、Q，若，则的最小值为( )A2 B C6 D结论七
8、三角形“四心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(1)O为ABC的外心|=|=|=.(2)O为ABC的重心+=0.(3)O为ABC的垂心=.(4)O为ABC的内心a+b+c=0.例7【2019年吉林省辽源市田家炳高级中学】在ABC中，点M是BC的中点，AM1，点P在AM上，且满足AP2PM，则等于()A B C D 【答案】B【解析】【变式训练】1.【吉林省长春市实验中学2019届高三上学期期中】点为的重心，则( )A B C D2.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+,0,+),则P的轨迹一定通过ABC的()
9、A.外心B.内心C.重心D.垂心3.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+,0,+),则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心4.【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过_心（内心、外心、垂心或重心）结论八等差数列设Sn为等差数列an的前n项和.(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+nap+aq=am+an(m,n,p,qN*).(2)ap=q,aq=p(pq)ap+q=0.(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成的数列是等差数列.(4
10、)=n+是关于n的一次函数或常函数,数列也是等差数列.(5)Sn=.(6)若等差数列an的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.(7)若等差数列an的项数为奇数2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.(8)若Sm=n,Sn=m(mn),则Sm+n=-(m+n).(9)Sm+n=Sm+Sn+mnd.例8【广东省揭阳市2019届高三学业水平考试】已知数列满足， ，则数列中最大项的值为_.【答
11、案】【解析】由得 ，即数列是公差为8的等差数列，故，所以，当时；当时，数列递减，故最大项的值为.【变式训练】1. 等差数列共有项，若前项的和为200，前项的和为225，则中间项的和为（ ）A. 50 B. 75 C. 100 D. 1252. 【2018宁夏育才中学模拟】已知无穷等差数列的公差， 的前项和为，若，则下列结论中正确的是（ ）A. 是递增数列 B. 是递减数列C. 有最小值 D. 有最大值3.【四川省广元市2019届高三第一次高考适应】已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则_结论九等比数列已知等比数列an,公比为q,前n项和为Sn.(1)an=amqn-m,an+m=anqm
12、=amqn(m,nN*).(2)若m+n=p+q,则aman=apaq(m,n,p,qN*);反之,不一定成立.(3)a1a2a3am,am+1am+2a2m,a2m+1a2m+2a3m,成等比数列(mN*).(4)公比q-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等比数列(nN*).(5)若等比数列的项数为2n(nN*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.(6)an,bn是等比数列,则an,anbn,也是等比数列(0,nN*).xk-*/w(7)通项公式an=a1qn-1=qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群
13、孤立的点.(8)与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.(9)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,xq,xq3.例9【吉林省高中2019届高三上期末】在递增的等比数列中，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1） （2）【解析】（2）由（1）得，所以 ，则，所以.【变式训练】1.【2018西藏拉萨一模】已知等比数列的前项积为，若， ，则当取得最大值时， 的值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 62.【广东省惠州市2019届高三第三次调研】 已知公差为正数的等差数列的前项和为，且，,数列的前项和。（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和结论十多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d与共顶点的三条棱的长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.2.棱长为a的正四面体内切球半径r=a,外接球半径R=a.例10【四川省泸州市2019届高三第一次诊断】已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球的表面积等于_【答案】【解析】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，【变式训练】1.九章算术中，将四
