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1、湖南省长沙市观佳中学高三数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 图2是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm），可知这个几何体的表面积是（ ）ABCD参考答案：C略2. 已知直线x+y=0被圆（x+1）2+（y+1）2=r2（r0）所截得弦长|AB|=2，则r的值是( )AB2C4D参考答案：D考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；直线与圆分析：由条件利用点到直线的距离公式求得弦心距，再利用弦长公式求得r的值解答：解：圆心（1，1）到直线x+y=0的距离为d=，直线x+
2、y=0被圆（x+1）2+（y+1）2=r2（r0）所截得弦长|AB|=2，r=故选：D点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题3. 已知集合,，则( )A B C D参考答案：B4. 已知点是的重心，若，则的最小值是（ ）A B CD参考答案：C略5. 下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的函数是（ ）A B C D参考答案：C略6. 已知变量x，y满足约束条件：，若表示的区域面积为4，则z=3xy的最大值为（）A5B3C5D7参考答案：D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，根据面积公式先求出a的值，利用z的几何意
3、义，结合数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，即B（1，2），若xy=a过B，则a=12=3，此时直线方程为y=x+3表示的区域面积为4，直线xy=a，即y=xa的截距a3即a3，由得，即A（2+a，2），由，得，即C（，），则ABC的面积S=（2+a+1）?（2）=（a+3）?=4，即（a+3）2=16，得a+3=4或a+3=4，即a=1或a=7（舍），则直线为xy=1，由z=3xy得y=3xz，平移直线y=3xz由图象可知当直线y=3xz经过点A（3，2）时，直线y=3xz的截距最小，此时z最大为z=332=7，故选：D7. 已知实数x，y满足xy1，则的取
4、值范围是（A）（，1），） （B）（1， （C）（，1）1，） （D）（1，1参考答案：A略8. 设为虚数单位，则（ ）A B C D参考答案：A略9. 二项式展开式中的系数是( )A-14 B14 C-28 D28参考答案：A10. 已知是第三象限角，且，则等于 （ ） A B C D参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设ABC的三个内角A，B，C所对应的边为a，b，c，若A，B，C依次成等差数列且a2+c2=kb2，则实数k的取值范围是参考答案：（1，2【考点】HR：余弦定理【分析】利用角A、B、C成等差数列B=，利用a2+c2=kb2，可得k=sin（2
5、A）+，即可利用正弦函数的性质求得实数k的取值范围【解答】解：A+B+C=，且角A、B、C成等差数列，B=（A+C）=2B，解之得B=，a2+c2=kb2，sin2A+sin2C=ksin2B=，k= = sin2A+cos2A+sinAcosA）= sin（2A）+，0A，2A，sin（2A）1，1sin（2A）+2，实数k的取值范围是（1，2故答案为：（1，212. 数列，满足，则 _ 参考答案：略13. 若实数满足则的最大值是 参考答案：14. 已知点A（3，2）和圆C：（x4）2+（y8）2=9，一束光线从点A发出，射到直线l：y=x1后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，
6、则折线ABP的最短长度是 参考答案：10考点：圆的标准方程 专题：直线与圆分析：求出A点关于直线l：y=x1的对称点D，连接D与圆C的圆心，交圆C于P，则折线ABP的最短长度等于|DC|3解答：解：如图：设A（3，2）关于直线l：y=x1的对称点为D（x0，y0），由，解得D（1，4），由圆的方程可知圆心为C（4，8），半径为3连接DC交圆C于P，则|DC|=折线ABP的最短长度是133=10故答案为：10点评：本题考查了圆的标准方程，考查了直线和圆的位置关系，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题15. 命题“?xR，xsin x”的否定是_参考答案：?xR，xsin x1
7、6. 设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若xz，yz，则xy”为真命题的序号有（把所有的真命题全填上）x为直线，y，z为平面；x，y，z都为平面；x，y为直线，z为平面；x，y，z都为直线；x，y为平面，z为直线参考答案：略17. 已知奇函数是定义在R上的增函数,数列是一个公差为2的等差数列满足,则的值 参考答案：4003三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （12分）如图，在底面是菱形的四棱锥中，点E在PD上，且PE：ED=2：1。（）证明；（）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（）在棱
8、PC上是否存在一点F，使BF/平面AEC？证明你的结论。参考答案：解析：（）证明 因为底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.同理，PAAD，所以PA平面ABCD.（）作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.知EG平面ABCD.作GHAC于H，连结EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以从而 （）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以 设点F是棱PC上的点，则 令
9、 得解得 即 时，亦即，F是PC的中点时，、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC.解法二 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC，证明如下，证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM/CE. 由 知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点. 所以 BM/OE. 由、知，平面BFM/平面AEC.又 BF平面BFM，所以BF/平面AEC.证法二因为 所以 、共面.又 BF平面ABC，从而BF/平面AEC.19. 热力公司为某生活小区铺设暖气管道，为减少热量损耗，管道外表需要覆盖保温层。经测算要覆盖可使用20年的保温层，每厘米厚的保温层材料成本为
10、2万元，小区每年的气量损耗用（单位：万元）与保温层厚度（单位：）满足关系：若不加保温层，每年热量损耗费用为5万元。设保温费用与20年的热量损耗费用之和为(1）求的值及的表达式；(2)问保温层多厚时，总费用最小，并求最小值。参考答案：（1）由题意知(2）当且仅当即时，等号成立。所以保温层的厚底为厘米时，总费用最小，最小为19万元。20. 已知抛物线E：x2=2py（p0），其焦点为F，过F且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8（1）求抛物线E的方程；（2）设A为E上一动点（异于原点），E在点A处的切线交x轴于点P，原点O关于直线PF的对称点为点B，直线AB与y轴交于点C，求OBC面积的最大值参考
11、答案：【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程【分析】（1）过点F且斜率为1的直线代入抛物线，利用|MN|=8，可得y1+y2+p=8，即可求抛物线C的方程；（2）求出直线AB的方程是y=x+1，C（0，1），可得SOBC=|，即可求OBC面积的最大值【解答】解：（1）由题可知F（0，），则该直线方程为：y=x+，代入x2=2py（p0）得：x22pxp2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1+x2=2p，|MN|=8，y1+y2+p=8，即3p+p=8，解得p=2抛物线的方程为：x2=4y；（2）设A（t，），则E在点A处的切线方程为y=x，P（，0），B（，），直线A
12、B的方程是y=x+1，C（0，1）SOBC=|，当且仅当t=2时，取得等号，所以OBC面积的最大值为21. （本小题满分14分）如图，在直角梯形中，现将沿线段折成的二面角，设分别是的中点() 求证：平面；（II）若为线段上的动点，问点在什么位置时，与平面所成角为.参考答案：（）证明：取中点，连接，易得四边形为梯形，有在平面上，又， 结合平面，平面，得平面；6分（）分别以，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，有， 设平面的法向量为，则根据，取，得到 设点，于是， 有题知, 即，解得 点在的中点时，与平面所成角为14分22. 已知函数f（x）=alnxx+1（aR）（1）求f（x）的单调区间；（2）
13、若f（x）0在（0，+）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（nN，n1）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求导，利用导数得出函数单调性；（2）对a进行分类：当a0时，f（x）递减，又知f（1）=0可得f（x）0 （x（0，1）；当a0时，只需求f（x）max=f（a）=alnaa+1，让最大值小于等于零即可；（3）利用（2）的结论，对式子变形可得=【解答】解：（1）f（x）=当a0时，f（x）0，f（x）递减；当a0时，x（0，a）时，f（x）0，f（x）递增；x（a+）时，f（x）0，f（x）递减；（2）由（1）知，当a0时，f（x）递减，f（1）=0f（x）0在（0，+）
