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1、2022-2023学年湖南省衡阳市耒阳市夏塘中学高二数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义，则（ ）A B C D参考答案：A略2. 已知矩形ABCD，AB=1，BC=将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直参考答案：B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】空间位置关系与
2、距离【分析】先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BDEC，这与已知矛盾；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误【解答】解：如图，AEBD，CFBD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则BDAE，BD平面AEC，从而BDEC，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD平面ABC，平面ABC平面BCD取BC中点M，连接
3、ME，则MEBD，AEM就是二面角ABDC的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC平面ACD，从而平面ACD平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除CD，由上所述，可排除D故选 B【点评】本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系，翻折问题中的变与不变，空间想象能力和逻辑推理能力，有一定难度，属中档题3. 设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是 （ ）（A）钝角三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定参考答案：C略4. 在区
4、间(0，1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若，则 A B C D参考答案：A5. 抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为 A B CD参考答案：D6. 已知a，b是两个非零向量，命题，命题使得a=tb，则p是q的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件参考答案：A7. 已知是两条异面直线，点是直线外的任一点，有下面四个结论：过点一定存在一个与直线都平行的平面。过点一定存在一条与直线都相交的直线。过点一定存在一条与直线都垂直的直线。过点一定存在一个与直线都垂直的平面。则四个结论中正确的个数为（ ）（A）. 1 (B)
5、. 2 (C). 3 (D). 4参考答案：A8. 命题 ，则是( )A B C D 参考答案：B略9. 已知数列an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且，则数列的前5项和为（）A或B或CD参考答案：A【考点】等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知式子可得数列an的公比，进而可得等比数列的首项为1，公比为，由求和公式可得【解答】解：，S8=17S4，=16，公比q满足q4=16，q=2或q=2，等比数列的首项为1，公比为，当公比为时，数列的前5项和为=；当公比为时，数列的前5项和为=故选：A【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题10. 在
6、三角形ABC中，已知AB=2，BC=5，三角形ABC的面积为4，若则= ( )A B C D 参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知是等比数列，则公比= 参考答案：12. 函数，的值域为 参考答案：13. 在茎叶图中，样本的中位数为 ，众数为 .参考答案：14. 如图，四边形ABCD为矩形，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是参考答案：【考点】概率的基本性质；几何概型【专题】计算题【分析】由题意知本题是一个几何概型，解决几何概型问题时，看清概率等于什么之比，试验包含的所有事件是BAD
7、，而满足条件的事件是直线AP在CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则，CAB=30，满足条件的事件是直线AP在CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点概率P=，故答案为：【点评】本题考查了几何摡型知识，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到15. 抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两
8、个动点，且满足AFB=90，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为参考答案：【考点】抛物线的简单性质【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义得2|=a+b，由余弦定理可得|2=（a+b）23ab，进而根据基本不等式，求得|的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|2=a2+b22abcos90=a2+b2，配方得，|2=（a+b）22ab，又ab（） 2，（a+b）22ab（a+b）2（a+b）2=（
9、a+b）2得到|（a+b），即的最大值为故答案为：【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题16. 不等式的解集是 ( )A B C D 参考答案：D略17. 如图，在ABC中，ABC=ACB=30，AB，AC边上的高分别为CD，BE，则以B，C为焦点且经过D、E两点的椭圆与双曲线的离心率的和为 _ .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.
10、已知投入万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为万元，并且技改投入比率.（1）求技改投入的取值范围；（2）当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为多少万元？参考答案：略19. （14分）如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PAAC，ABBC设D，E分别为PA，AC中点（）求证：DE平面PBC；（）求证：BC平面PAB；（）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点 D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由参考答案：【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定 【专题】空间位置关系与距离【分析】（）证
11、明以DE平面PBC，只需证明DEPC；（）证明BC平面PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明PABC，ABBC；（）当点F是线段AB中点时，证明平面DEF平面PBC，可得平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行【解答】解：（）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DEPC又因为DE?面PBC，PC?面PBC，所以DE平面PBC （）证明：因为平面PAC面ABC，平面PAC平面ABC=AC，又PA?平面PAC，PAAC，所以PA面ABC，因为BC?平面ABC，所以PABC又因为ABBC，且PAAB=A，所以BC面PAB （）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条
12、直线都与平面PBC平行取AB中点F，连EF，连DF由（）可知DE平面PBC因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EFBC又因为EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF平面PBC又因为DEEF=E，所以平面DEF平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行 （14分）【点评】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理是关键20. 已知函数.（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若f(x)在区间1,2上单调递增，求a的取值
13、范围；（）求f(x)在上的最小值.参考答案：（I）；（）；（）.【分析】（I）先求出原函数的导函数，利用为切线斜率可求得切线方程；（）在区间上是单调递增函数转化为在上恒成立，从而求得答案；（）分别就，分别讨论即可求得最小值.【详解】（）当时，曲线在点处的切线方程为；即：.（）,在区间上是单调递增函数，在上恒成立，只需，解得，所以，当时，在区间上是单调递增函数.（）当时，在上恒成立，在区间上是单调递减函数，.当时，在上恒成立，在区间上是单调递减函数，.当时，令，解得，令，解得，在区间上单调递减函数，在区间上单调递增函数，.当时，上恒成立，在区间上是单调递增函数，.综上，.【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，利用单调性求含参问题，求含参函数
