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1、湖南省永州市大路铺中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知均为单位向量，它们的夹角为60，那么，等于 （ ）A. B. C. D. 4参考答案：C略2. 已知，若，使得，则实数的取值范围是（ ）A B C D参考答案：B3. 函数的零点个数为（ ）A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：B略4. 已知函数上的最小值为2，则的取值范围是 A BC D参考答案：D5. 若函数f（x）=ln（x+4）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A（，4B0，4C（，4）D（0，4）参考答案：A6. 如图，一个
2、简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为.则该组合体的表面积为()A15 B18 C21 D24来参考答案：C7. 一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为，则h的值为（ ） A. B. C. D. 参考答案：C【分析】首先由三视图还原得到一个四棱锥，进而利用锥体的体积公式，列出方程，即可求解【详解】根据给定的几何体的三视图，可得底面边长分别为和的长方形，高为的一个四棱锥体，如图所示：又由该四棱锥的体积为，解得故选：C【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮
3、廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解8. 已知复数，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【详解】由题 故 故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则在上的单调递增区间是（ ）A B C. D参考答案：B10. 当实数x，y满足不等式组时，恒成立，则
4、实数a的取值范围是（ ）A B C D参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则=_参考答案：【分析】先求内层函数值，再求外层函数值.【详解】根据题意，函数 ，则，则；故答案为：12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 . 参考答案：由三视图可得该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积.13. 设a+b=M（a0，b0），M为常数，且ab的最大值为2，则M等于 参考答案：【考点】基本不等式【分析】由基本不等式，ab（）2=可求ab的最大值，结合已知即可求解M【解答】解：a+b=M（a0，b0），由
5、基本不等式可得，ab（）2=，ab的最大值为2，=2，M0，M=2，故答案为：14. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是 参考答案：略15. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为_。参考答案：16. 为中边的中点，若，则=_。参考答案：2略17. 若直线与直线（为参数）垂直，则_ 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某公司在招聘员工时，要进行笔试、面试和实习三个过程。笔试设置了三个题，每一个题答对得5分，否则得0分。面试则要求应聘者回答3个问题，每一个问题答对得5分，否则得0分。并且规定
6、在笔试中至少得到10分，才有资格参加面试，而笔试和面试得分之和至少为25分，才有实习机会。现有甲去该公司应聘，若甲答对笔试中的每一个题的概率为，答对面试中的每一个问题的概率为。（1）求甲获得实习机会的概率；（2）设甲在应聘过程中的所得分数为随机变量，求的数学期望。参考答案：（1）25分：；30分：;获得实习机会的概率：（2）；。19. 已知向量 (1)求的最小正周期和单调增区间；如果中，满足，求角的值参考答案：解：f(x)= sinxcosx+cos2x = sin(2x+)+-3分T=，2 k-2x+2 k+，kZ,最小正周期为，- -5分单调增区间k-,k+,kZ.-7分 由sin(2A+
7、)=0,2A+0)上的最小值；（2）若函数y=f(x)与y=g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值；（3）若函数y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点x1，x2（xl 1n2，求实数a的取值范围参考答案：21. 在空中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为30，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面已知直线l平面，l与的距离为2，平面与圆锥面相交得到双曲线在平面内，以双曲线的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系（）求双曲线的方程；（）在平面内，以双曲线的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线，在上任取一点P，过点P作双曲线的两条切线交曲线于两点M、N，试证明
8、线段MN的长为定值，并求出这个定值参考答案：【考点】平面与圆柱面的截线【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）由已知推导出双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4），由此能求出双曲线的标准方程（） 设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线方程为y=k（xx0）+y0，与椭圆联立，再利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能证明线段MN的长为定值，并能求出这个定值【解答】（本小题满分12分）解：（）如右图，O为双曲线的中心，OO为轴l与平面的距离|OO|=2，A为双曲线的顶点，AOO=60，（1分）在轴l上取点C，使得|OC|=4，过C作与轴l垂直的平面，
9、交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D、E，DE的中点为B，由题意知，|CB|=2，|CD|=4，得|BD|=2，从而双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4）（4分）设双曲线的标准方程为，将点（2，4）代入方程得b2=4，所以双曲线的标准方程为（5分）证明：（）在条件（）下，双曲线的两切线PM、PN都不垂直x轴，（6分）设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为y=k（xx0）+y0，：（8分）由=0，化简得：（9分）令PM、PN的斜率分别为k1、k2，（10分）因点P（x0，y0）在圆上，则有，得：，k1k2=1，（11分）知PMPN，线段MN是圆O的直径，|MN|=4（12分）【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查线段长为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、圆、直线方程等知识点的合理运用22. （本小题满分12分）已知数列是一个等差数列，且，。（）求的通项；（）求前n项和的最大值及相应的n的值.参考答案：
