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1、山东省烟台市莱州程郭中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，正ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度AGP=x（0x2），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）ABCD参考答案：C【考点】函数的图象【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出
2、正确选项【解答】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tanBGM=，即BGM=，所以BGA=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C【点评】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法2. 已知函数f（x）=|2x2|+b的两个零点分别为x1，x2（x1x2），则下列结论正确的是（）A1x12，x1+
3、x22B1x12，x1+x21Cx11，x1+x22Dx11，x1+x21参考答案：A【考点】函数零点的判定定理【分析】函数f（x）=|2x2|+b的有两个零点，即y=|2x2|与y=b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2（x1x2），在同一坐标系中画出y=|2x2|与y=b的图象，根据图象可判定【解答】解：函数f（x）=|2x2|+b的有两个零点，即y=|2x2|与y=b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2（x1x2），在同一坐标系中画出y=|2x2|与y=b的图象（如下），可知1x12，?，?x1+x22故选：A3. 函数y=x+cosx的大致图象是（）ABCD参考答案：B【考点】函数
4、的图象与图象变化；函数的图象 【专题】计算题；数形结合【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断【解答】解：由于f（x）=x+cosx，f（x）=x+cosx，f（x）f（x），且f（x）f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为 ，排除D故选：B【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题4. 若在直线上存在不同的三个点，使得关于实数的方程有解（点不在上），则此方程的解集为
5、（ ） A B C D参考答案：A5. 已知二次函数的导函数为，且0，的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为 ( )参考答案：C略6. 从1，2，3，4，5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须是奇数的三位数个数为（）A12B18C24D30参考答案：B【考点】D8：排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分2步进行分析：、在1、3、5三个奇数中任选2个，安排在三位数的个位和百位，、在剩余的3个数字中任选1个，将其安排在三位数的十位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，要求奇数位上必须是奇数的三位数，则这个三位数的百位、个位为奇数，分2步
6、进行分析：、在1、3、5三个奇数中任选2个，安排在三位数的个位和百位，有C32A22=6种情况，、在剩余的3个数字中任选1个，将其安排在三位数的十位，有C31=3种情况，则奇数位上必须是奇数的三位数有63=18个；故选：B7. 如图，在直角梯形中，为BC边上一点，为中点，则（ ）A B C D 参考答案：C由为中点，得，故选C8. 设函数，则它的图象关于 ( ） Ax轴对称 By轴对称 C原点对称 D直线对称参考答案：C9. 设f(x)= 则不等式的解集为 （ ）A（1，2）（3，+） B（，+）C（1，2） （ ，+） D（1，2）参考答案：C10. 的定义域为 （ ） A B. C. D.
7、参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出下列四个结论：“若则”的逆命题为真；若为的极值，则； 函数（x）有3个零点；对于任意实数x，有且x0时,，则x0时其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）参考答案：正确12. 某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号150号，并分组，第一组15号，第二组610号，第十组4650号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为_的学生参考答案：37 13. 已知，为与中的较小者，设，则=_参考答案：14. 4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的
8、概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，则共有 种结果；其概率为 参考答案：24，15. 已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，f（x）=x2+，则f（1）=参考答案：2【考点】函数奇偶性的性质【分析】当x0时，f（x）=x2+，可得f（1）由于函数f（x）为奇函数，可得f（1）=f（1），即可得出【解答】解：当x0时，f（x）=x2+，f（1）=1+1=2函数f（x）为奇函数，f（1）=f（1）=2故答案为：216. 设是定义在上的奇函数，当时，则_。参考答案：-117. 已知S为数列an的前n项和，若an（4+cosn）=n（2cosn），則S20=参考答案：122【考点】数列的求和【专
9、题】计算题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列【分析】分n为奇数、偶数求出各自的通项公式，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论【解答】解：当n=2k+1时，cosn=1，3an=3n，即an=n；当n=2k+2时，cosn=1，5an=n，即an=n；S2n=（1+3+5+2n1）+（2+4+6+2n）=+?=，S20=122，故答案为：122【点评】本题考查数列的求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知在平面直角坐标系中，直线l过点P（1，-5），且倾斜角为，以原点O为极点，x轴的正
10、半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为（）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（）试判定直线l和圆C的位置关系参考答案：略19. 给定椭圆（），称圆为椭圆的“伴随圆”已知椭圆过点，离心率为（I）求椭圆的方程；（II）若直线与椭圆交于两点，与其“伴随圆”交于两点，当 时，求面积的最大值参考答案：1）2) ,令，当时20. (本小题满分分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图,其中收看时间分组区间是:,.将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为
11、“体育迷”.（1）求图中的值; （2）从“体育迷”中随机抽取人，该人中日均收看该类体育节目时间在区间内的人数记为，求的数学期望.参考答案：解:(1)由题设可知, 1分解之得 2分(2)由题设可知收看该类体育节目时间在区间内的人数为人, 3分“体育迷”的人数为, 4分所以的可能取值为, 5分, 7分 9分 11分的数学期望.12分21. （本小题满分12分） 已知 是一个单调递增的等差数列，且满足 (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 和数列 满足等式 （n为正整数），求数列 的前n项和 。参考答案：22. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数f（x）的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且，求a2+b2+c2的最小值参考答案：（1）x|x2或x0（2）最小值为1【分析】（1）去绝对值将函数写成分段函数形式，分别解不等式即可；（2）分析函数单调性求出最小值m，利用柯西不等式即可求得最小值.【详解】（1），或或，解得或，不等式的解集为x|x2或x0（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，由柯西不等式，有，当且仅当2abc，即a，bc时取等号，的最小值为1【点睛】本题考查解绝对值不等式，柯西不等式的应用，属于中档题.
