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1、2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案14.1.14.1.1 利用函数性质判定方程解的存在利用函数性质判定方程解的存在问题导学问题导学 一、求函数的零点 活动与探究 1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出： (1)f(x)1log3x； (2)f(x)4x16；(3)f(x).x24x12 x2 迁移与应用 1求下列函数的零点： (1)f(x)x22x3；(2)f(x)2x2.2若函数f(x) a的零点是2，则a的值为_1 x1求函数f(x)的零点，基本方法是解方程f(x)0，方程的根就是零点 2解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义，避免增解 二、函数零点个数的判断
2、活动与探究 2判断函数f(x)x2 的零点的个数1 x 迁移与应用1函数f(x)x 的零点的个数是( )4 x A0 B1 C2 D3 2求函数f(x)lnx2x6 的零点个数判断函数零点的个数常有以下方法： (1)解方程f(x)0，方程根的个数就是函数f(x)的零点的个数； (2)画出函数f(x)的图像，该图像与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数； (3)将方程f(x)0 变形为g(x)h(x)，在同一坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图像， 两个图像交点的个数就是原函数f(x)零点的个数 三、判断方程(函数)在指定区间上是否存在实数解(零点) 活动与探究 3 (1)函数f(x)ex
3、x2 的零点所在的一个区间是( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) (2)已知函数f(x)2x3x2.问方程f(x)0 在区间1,0内有没有实数解？为什么？迁移与应用 1方程 log3xx3 的解所在的区间为( ) A(0,2) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 2试判断方程x32x在区间1,2内是否有实数解判断一个方程f(x)0(函数f(x)在区间a，b上是否存在实数解(零点)，首先看函2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案2数f(x)在区间a，b上的图像是否连续，其次再检验是否满足f(a)f(b)0.若满足，那 么函数yf(x)在区间(a，b)内必
4、有零点，且相应的方程f(x)0 必有实数解 四、函数零点的综合应用 活动与探究 4 当a取何值时，方程ax22x10 的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？ 迁移与应用 若函数f(x)x22xa的两个零点中一个大于 1，另一个小于 1，那么实数a的取值 范围是_解决这类问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题 (2)结合草图考虑四个方面：与 0 的大小；对称轴与所给端点值的关系；端 点的函数值与零的关系；开口方向 (3)写出由题意得到的不等式 (4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意 当堂检测当堂检测1函数f(x)的零点是( )x1 x21 A1 B1 C
5、1 D0 2函数f(x)lnx1 的零点所在的大致区间为( ) A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5) 3函数f(x)ax2bxc，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1,2)上零点的个数是( ) A至多有一个 B有一个或两个 C有且仅有一个 D一个也没有 4函数f(x)x21 2log | | x的零点的个数是_5若方程ax2x10 在(0,1)内有解，求a的取值范围提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华 部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：答案： 课前预习导学课前预习导学 【预习导引】 1(1)交点的横坐标 (2)f(x)0 预习交流预习交流 1
6、提示：不正确函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标，即函数零 点的实质是一个实数，而不是几何上的点预习交流预习交流 2 提示：并不是所有的函数都有零点，例如：y 和yx23 等都没有零1 x 点对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)，计算b24ac，则当0 时，f(x)有2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案32 个零点，当0 时，f(x)有 1 个零点，当0 时，f(x)无零点 2至少有一个零点 至少有一个实数解 预习交流预习交流 3 (1)提示：函数在(a，b)内有零点，可能只有 1 个，也可能有多个图 和分别是函数f(x)和g(x)的图像由图知，f(x)与g(x)的图像在(a
7、，b)上连续不断， 且满足f(a)f(b)0，图中函数f(x)在(a，b)内有 2 个零点，图中函数g(x)在 (a，b)内有 3 个零点由此可见，满足题设条件的函数的零点不一定只有 1 个(2)提示：不一定例如：函数f(x)x21 在区间(2,2)内有 2 个零点，但却有 f(2)f(2)0.(3)提示：不对例如：函数f(x) 在闭区间2,2上的图像不连续，虽有1 x f(2)f(2)0，但f(x)在(2,2)内没有零点 课堂合作探究课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究活动与探究 1 解：解：(1)令 1log3x0，则 log3x1，解得x ，1 3所以函数的零点为x .1 3 (2)令
8、 4x160，则 4x42， 解得x2， 所以函数的零点为x2.(3)因为f(x)，令0，x24x12 x2(x6)(x2) x2(x6)(x2) x2 解得x6，所以函数的零点为x6. 迁移与应用迁移与应用 1解：解：(1)令x22x30， 解得x1 或x3， 即函数的零点是x11，x23. (2)令 2x20，解得x1， 即函数的零点是x1.2 解析：解析：依题意知f(2)0，即a0，所以a .1 21 21 2活动与探究活动与探究 2 解：解：(方法一)令f(x)x2 0，得x2 ，即x31，解得x1，故1 x1 x函数f(x)x2 只有一个零点1 x(方法二)令f(x)x2 0，得x2
9、 ，设g(x)x2，h(x) ，在同一坐标系中分别1 x1 x1 x 画出函数g(x)和h(x)的图像， 由图像可知，两个图像只有一个交点，2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案4故函数只有一个零点迁移与应用迁移与应用 1C 解析：解析：令f(x)0，即x 0.4 x 解得x2.所以f(x)有 2 个零点 2解法一：在同一平面直角坐标系中作出yln x与y62x的图像，由图知，两 个函数图像只有一个交点，故函数f(x)的零点个数为 1. 解法二：f(2)ln2226ln220， f(3)ln3236ln30， f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)上有零点 又f(x)在(0，)上是
10、增加的， 函数f(x)有且只有一个零点 活动与探究活动与探究 3 思路分析：思路分析：(1)只需分析函数在哪个区间的两个端点的函数值异号即可； (2)要判断方程f(x)0 在区间1,0上有没有实数解，只需看f(1)，f(0)是否异号即 可 (1)C 解析：解析：由于f(2)e2220，f(1)e1120，f(0) e00210，f(1)e12e10，所以f(0)f(1)0，因此零点所在的 一个区间是(0,1)选 C.(2)解：解：f(1) 30，f(0)10，又函数f(x)2x3x2的图像是连续曲1 2 线，f(x)在区间1,0内有零点，即f(x)0 在区间1,0内有实数解 迁移与应用迁移与应
11、用 1C 解析：解析：构造函数，转化为求函数的零点所在的区间令f(x)log3xx3，则f(2)log3223log30，f(3)2 3 log333310，又因为函数f(x)在(0，)上是连续且单调的函数，所以方程 log3xx3 的解所在的区间为(2,3) 2解：解：设函数f(x)x32x， f(1)1210， f(2)8440， f(1)f(2)0. 又函数f(x)x32x的图像是连续曲线， 函数f(x)x32x在区间1,2内至少有一个零点，即方程x32x在区间1,2内至 少有一个实数解 活动与探究活动与探究 4 思路分析：思路分析：令函数f(x)ax22x1，本题的实质是该函数的一个零
12、 点在(0,1)上，另一个在(1,2)上，结合函数的图像列出不等式组，注意对 a0，a0，a0 作出讨论 解：解：当a0 时，方程即为2x10，只有一根，不符合题意 当a0 时，设f(x)ax22x1， 因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，2018 年北师大版高中数学必修 1 课堂导学案5所以Error!即Error!解得 a1.3 4 当a0 时，设方程的两根为x1，x2，则x1x2 0，1 a x1，x2一正一负，不符合题意综上，a的取值范围为 a1.3 4 迁移与应用迁移与应用 a3 解析：解析：依题意，由图像可知f(1)0，即 1221a0，解得 a3. 【当堂检测】1B 解析：解析：令f(x)0，得0，即x10，所以x1.x1 x21 2B 解析：解析：因为在给出的区间中，只有f(2)f(3)0，而在其余区间两个端点处 的函数值均同号 3C 42 解析：解析：令f(x)0，得x21 2log | | x.设g(x)x2，h(x)1 2log | | x.画出g(x)和h(x)的图像，由图像可知，两个函数图像有 2 个交点，所以函数f(x)有 2 个零点5解：解：ax2x10 在(0,1)内有解， 即函数f(x)ax2x1 在(0,1)内有零点， 故f(0)f(1)0， 即1(a2)0，解得a2.
