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1、第二章 圆锥曲线与方程1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程神舟九号神舟九号情景一：情景一：20122012年年6 6月月1616日日1818时时3737分分, ,神舟九号飞船在酒泉神舟九号飞船在酒泉卫星发射中心发射升空卫星发射中心发射升空. .与天宫一号实施自动交会对接与天宫一号实施自动交会对接. .为中国今后建设大型空间站积累了难以估量的经验为中国今后建设大型空间站积累了难以估量的经验. .相信同学们通过努力相信同学们通过努力一定可以为祖国创造一定可以为祖国创造出更多骄傲出更多骄傲! ! 那么数学中的椭圆到底是怎样一种曲线呢？让我们一那么数学中的椭圆到底是怎样一种曲线呢？让我们一起来探究！起来探
2、究！情景二：情景二：行星运动第一定律：椭圆定律行星运动第一定律：椭圆定律1.1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和在实际生活中的作用和在实际生活中的作用. .2.2.掌握椭圆的定义和标准方程掌握椭圆的定义和标准方程. .（重点）（重点）3.3.掌握椭圆的标准方程的推导过程掌握椭圆的标准方程的推导过程. .（难点）（难点）探究点探究点1 1 椭圆的定义椭圆的定义 动手操作：动手操作： 将一条细绳的两端固定在同一个定将一条细绳的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷直，围绕定点旋转，这时笔尖画
3、出的轨迹是什么图形？点旋转，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. .提示：提示：圆圆鼠标点击鼠标点击小球滑动小球滑动思考思考1 1 将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在不同的两点不同的两点F F1 1，F F2 2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？ M结论：结论：笔尖画出的轨迹笔尖画出的轨迹是椭圆是椭圆. .思考思考2 2 在画椭圆的过程中在画椭圆的过程中，(1)(1)细绳的两端
4、的位置是固定的还是运动的？细绳的两端的位置是固定的还是运动的？提示：提示：固定的固定的. .(2)(2)绳子的长度变了没有？为什么要拉紧绳子？绳子的长度变了没有？为什么要拉紧绳子？提示：提示：没变化没变化. .保持笔尖到两定点的距离和不变保持笔尖到两定点的距离和不变. .(3)(3)绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？提示：提示：三点三点M M，F F1，F F2不共线时，构成三角形不共线时，构成三角形 ， 两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点距离距离. . 椭圆的定义：椭圆的定义：椭圆的定义的符号表示
5、：椭圆的定义的符号表示：我们把平面内到两个定点我们把平面内到两个定点F F1 1，F F2 2的距离之和的距离之和_（大于（大于|F|F1 1F F2 2| |）的点的集合叫作椭圆）的点的集合叫作椭圆. . 这两个这两个_叫作椭圆的焦点，叫作椭圆的焦点， 两个焦点两个焦点F F1 1，F F2 2间的距离叫作椭圆的间的距离叫作椭圆的_._.等于常数等于常数定点定点焦距焦距思考思考3 3 椭圆定义中为什么要求常数大于椭圆定义中为什么要求常数大于|F|F1 1F F2 2|(|(即即2a2c)2a2c)？提示：提示：当当|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a|F|=2a|F2a|F1
6、 1F F2 2| |时动点时动点M M的轨迹的轨迹才是椭圆才是椭圆. .探究点探究点2 2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程如图，给定椭圆，它的焦点为如图，给定椭圆，它的焦点为F F1 1，F F2 2，焦距，焦距|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c（c0c0）, ,椭圆上任意一点到两焦点距离之和椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于等于2a2a（acac）. .以过焦点以过焦点F F1 1，F F2 2的直线为的直线为x x轴，线段轴，线段 F F1 1F F2 2 的中垂线为的中垂线为y y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系xOyxOy, ,则焦则焦点点F F1 1，F F2 2
7、的坐标分别是的坐标分别是( ( c,0)c,0)，(c,0)(c,0). .设设M M（x , y)x , y)是椭圆上任意一点，由椭圆的定义，是椭圆上任意一点，由椭圆的定义，椭圆上的点椭圆上的点M M 满足满足因为因为所以所以移项后两边平方、整理，得移项后两边平方、整理，得上式两边平方、整理，得上式两边平方、整理，得即即由椭圆定义可知由椭圆定义可知所以所以令令其中其中代入上式，得代入上式，得这说明椭圆上点的坐标满足以上方程这说明椭圆上点的坐标满足以上方程.我们还可我们还可以证明，这个方程每一组解对应的点都在椭圆上以证明，这个方程每一组解对应的点都在椭圆上.抽象概括：抽象概括：椭圆上任意一点的
8、坐标都是方程椭圆上任意一点的坐标都是方程的解；的解；都在椭圆上都在椭圆上.以方程以方程的解为坐标的点的解为坐标的点我们将方程我们将方程叫作椭圆的标准方程，叫作椭圆的标准方程， 焦点坐标是焦点坐标是如果椭圆的焦点在如果椭圆的焦点在y y轴上，如图，其焦点坐标为轴上，如图，其焦点坐标为用同样的方法可以推出用同样的方法可以推出它的标准方程为它的标准方程为其中其中yOxF1F2M(0,-c)(0 , c)OxyF1F2M(-c,0)(c,0)思考思考1 1 如何用几何图形解释如何用几何图形解释在椭圆中分别表示哪些线段的长？在椭圆中分别表示哪些线段的长？在直角三角形在直角三角形OMFOMF2中，由勾股定
9、理得中，由勾股定理得=a=a2 2-c-c2 2=b=b2 2, ,提示：提示：如图，点如图，点M M是椭圆是椭圆与与y y轴的交点，此时轴的交点，此时可见，可见，思考思考2 2 当当a a为定值时，椭圆形状的变化与为定值时，椭圆形状的变化与c c有怎样的有怎样的关系？关系？OxyF1F2M(-c,0)(c,0)提示：提示：如图，如图，即即可见，当可见，当a a为定值时，随为定值时，随c c的增大，的增大，b b减小，椭圆变扁；减小，椭圆变扁；随随c c的减小，的减小，b b增大，椭圆越接近于圆增大，椭圆越接近于圆. .例例1 1 已知已知B,CB,C是两个定点，是两个定点，且且的周长等于的周
10、长等于1818，求顶点，求顶点A A满足的轨迹方程满足的轨迹方程. .解解: :由已知由已知得得由定义可知点由定义可知点A A的轨迹是一个椭圆，且的轨迹是一个椭圆，且即即所以所以如图，建立平面直角坐标系，如图，建立平面直角坐标系，使使x x轴经过轴经过B,CB,C两点，原点两点，原点O O为为BCBC的中点的中点. .当点当点A A在直线在直线BCBC上，即上，即y=0y=0时，时，A A，B B，C C三三点不能构成三角形，因此点不能构成三角形，因此, ,点点A A满足的轨迹方程是满足的轨迹方程是提醒：提醒：求点的轨迹问题，要结合具体的情况剔除不满足求点的轨迹问题，要结合具体的情况剔除不满足
11、条件的点条件的点.B B C C A A点点A A不能不能在在x x轴上轴上例例2 :2 :求满足下列条件的椭圆的标准方程：求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1) (1) 两个焦点的坐标分别是（两个焦点的坐标分别是（-3,0-3,0），（），（3,03,0），椭圆），椭圆上一点上一点P P到两焦点的距离之和等于到两焦点的距离之和等于10.10.解解: :因为因为椭圆的焦点在椭圆的焦点在x x轴上，所以设椭圆的标准方程轴上，所以设椭圆的标准方程为为由题意，由题意，所以所以所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为(2) (2) 过点过点且与椭圆且与椭圆有相同的焦点有相同的焦点. .设所求椭圆的标准
12、方程为设所求椭圆的标准方程为解：解：因为所求的椭圆与椭圆因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，的焦点相同，所以所以其焦点在其焦点在x x轴上，且轴上，且所以有所以有因为所求的椭圆过点因为所求的椭圆过点又因为又因为由由 得得所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为【变式练习变式练习】求经过点求经过点的椭圆的标准方程的椭圆的标准方程.解析：解析：当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在x x轴上时，设椭圆方程为轴上时，设椭圆方程为将将的坐标代入椭圆方程，得的坐标代入椭圆方程，得解得解得与与矛盾，舍去矛盾，舍去. 当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在y y轴上时，设椭圆方程为轴上时，设椭圆方程为将将的坐标代入椭圆方程，得的坐
13、标代入椭圆方程，得解得解得故所求的椭圆方程为故所求的椭圆方程为【提升总结提升总结】求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1 1）确定焦点的位置）确定焦点的位置. .（2 2）设出椭圆的标准方程）设出椭圆的标准方程. .（3 3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a a，b b的值，写出椭圆的的值，写出椭圆的标准方程标准方程. .1.1.动点动点P P到两定点到两定点F F1(-4,0)(-4,0)，F F2(4,0)(4,0)的距离和是的距离和是8 8，则动点则动点P P的轨迹为（的轨迹为（ ）A.A.椭圆椭圆 B.B.线段线段F F1 1F F2 2 C. C.直线直线F F
14、1 1F F2 2 D. D.无轨迹无轨迹B B2.2.已知椭圆的标准方程为已知椭圆的标准方程为 , ,则焦点坐标则焦点坐标为为( )( )A.(1,0) B.(0,1)A.(1,0) B.(0,1)C.(C.(1,0) D.(0,1,0) D.(0,1)1)解析：解析：由标准方程由标准方程 得得a a2 2=4,b=4,b2 2=3,=3,所以所以c c2 2=a=a2 2-b-b2 2=1=1，所以焦点坐标为，所以焦点坐标为( (1,0).1,0).C C3.3.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-3)(0,-3)，(0,3)(0,3)，椭，椭圆上的点圆上的
15、点P P到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于8.8.求椭圆的标准求椭圆的标准方程方程. . 解析解析: :因椭圆的焦点在因椭圆的焦点在y y轴上，轴上， 故可设椭圆的标准方程为故可设椭圆的标准方程为由题意，由题意，所以，所以，椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离之和等的距离之和等于常数（大于于常数（大于|F1F2|）的点的集合）的点的集合标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a,b,c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断xyF1 1F2 2MOxyF1 1F2 2MOxyF1 1F2 2MO问题是数学的心脏。P.R.Halmos
