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1、请打双面习题与综合训练 第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。等效弹簧系数为k则 其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知= 则 = 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 qFsinaaFhmgqF 所以固有频率2-2 一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角qqha2F
2、mg由动量矩定理：其中 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1。k1与k3并联，设总刚度为k2。k2与k4串联，设总刚度为k。即为，2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中、和是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。解： （1） （2） （3） （4）2-5 如题2-5图所示，质量为的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统
3、的固有频率。解：此系统是一个保守系统，能量守恒系统的动能为：系统的势能为：总能量由于能量守恒消去得系统的运动方程为：系统的固有频率为：2-6 如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为，求系统的固有频率。解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为。很小，系统的动能为所以， 取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为，由， （A）由题意可知，系统势能为（B）将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，由， 得 所以，有2-7 一个有阻尼的弹簧-质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系
4、数c。解：振动衰减曲线得包络方程为：振动20个循环后，振幅比为：代入,得：又 c = 6.9 N s /mOmgjXOYOFKFC，2-8 一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：当npn时，ccC2-9 如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。解：2-10 如题2-10图所示，质量为2000 kg的重物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起
5、作自由振动。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为所以有 +x =0 其特征方程为：+r+=0 r =-0.494.875i所以：x =cos4.875t+sin4.875t由于n pn，由已知条件，m/s。故通解为其中，。（代入初始条件，当t=0时，x=0, =0当t=0时，=0,=0.006x=0.006sin4.875t=0.006(-0.49) sin4.875t+0.0064.875cos4.875当=0时，振幅最大，此时t=0.03s。当t=0.03s时，x=0
6、.005m）代入初始条件，得，得物体达到最大振幅时，有既得t = 0.30 s时，物体最大振幅为 cm2-11 由实验测得一个系统的阻尼固有频率为，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为，求系统的无阻尼固有频率、相对阻尼系数及对数衰减率。解：， ， ；三个方程联立，解得：习题与综合训练 第二章2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值，若质量块受激振力N的作用，求系统的稳态响应。解：由题意，可求出系统的运动微分方程为得到稳态解其中由 又有所以x1.103 cos(3t5127)2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频
7、率rad/s时，系统发生共振；给质量块增加1 kg的质量后重新试验，测得共振频率rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k由，共振时所以又由 当与联立解出m20.69 kgk744.84 N/m2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。解：列出平衡方程可得：所以：又因为即为所求的振幅2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力，弹簧支承端有运动，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。题2-4图 解：选时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图，则 即
8、即 （*）改成，下面也都一样利用复数求解 ， 用 代换sinwt 并设方程（*）的解为这里求的是特解，也就是稳态解。 代入方程（*）得其中B为振幅，为响应与激励之间的相位差，有=。 其中 2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力，求质量块的振幅。题2-5图解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有， （A）由图（1）和图（2）的受力分析，得到 （B） （C）联立解得，所以，n = 0，得，2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值(1)系统发生共振；(2)等于固有频率的一半。mg
9、qBP0sinwtAXAYAFCFK题2-6图 解：图（1）为系统的静平衡位置，以q为系统的广义坐标，画受力如图（2）又 Iml2则1）系统共振，即2）2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率、阻尼比及稳态响应振幅。题2-7图解：以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理即 令，得到2-8一机器质量为450kg，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产生偏心激振力N，其中是激励频率，g是重力加速度。求(1)在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；(2)机器的振幅。解：设系统在平衡位置有位移， 则即又有 则（1）所以机器的振幅为（2）且，（3）又有（
10、4）将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅=0.584 mm则传入地基的力为2-9一个粘性阻尼系统在激振力作用下的强迫振动力为，已知N，B =5 cm ，rad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功及。2-10 证明粘性阻尼在一周期内消耗的能量可表示为证明2-11证明简谐激振力作用下的结构阻尼系统在时振幅达最大值。证明：设结构阻尼的应变幅度为B，则应变改变一周期内所消耗的能量 为与材料有关的常数与频率无关，则等效粘性阻尼系数 由于振幅所以， 其中，对求导得 ，当时，振幅B达到最大值2-12无阻尼系统受题2-12图示的外力作用，已知，求系统响应。题2-12图解：由图得激振力方程为当 0
11、t t1时，则有由于，所以有当t1 t t2时，则有 当 t t2时，则有+ 0 2-13如题2-13图的系统，基础有阶跃加速度，初始条件为，求质量m的相对位移。题2-13图解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为令，则有得到系统的激振力为，可得响应为其中，。2-14上题系统中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。解：系统振动的微分方程为即 基础有阶跃位移,故=0 =，则有得到系统的激振力为，可得响应为其中，。2-15 求零初始条件的无阻尼系统对题2-15图示激振力的响应。题2-15图 解：由图得激振力方程为当 0 t t1时，则有当t t1时，则有 2-16 零初始条件的无阻尼系统受题2-16图的外力作用，求系统响应。题2-16图解：由图得激振力方程为当 0 t t1时，则有当t1 t t2时，则有 当 t t2时，则有 + 0解：运动微分方程为 当时，当时， 算法同上，所以有 当时，+0系统响应为2-17 零初始条件的无阻尼系统受题2-17图的半正弦脉冲作用，若，求系统响应。题2-17图 解：由图得激振力方程为当 0 t t1时，则有2-18求无阻尼系统对题2-18图的抛物型外力的响应，已知。题2-18图解：由图得激振力方程为当 0 t t1时，则有当 t t2时，则有 2-
