《江苏省苏州市2020届高三数学二轮复习专题训练 2 函数(2)(通用)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《江苏省苏州市2020届高三数学二轮复习专题训练 2 函数(2)(通用)(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题2 函数(2)一、填空题例1 已知函数,若直线对任意的都不是曲线的切线,则的取值范围是 答:提示:,不等式对任意都成立,例2 设曲线在点处的切线为,曲线在点处的切线为,若存在,使得,则实数的取值范围是 答:提示:直线,的斜率分别为,由题设得在上有解,令,则例3 已知函数上任一点处的切线斜率,则该函数的单调递减区间为 答:提示:由得例4 已知函数在为增函数,为减函数,则 答:提示:,由题设得,经检验满足例5 已知函数存在单调递减区间,则实数的取值范围为 答:提示:函数存在单调递减区间,在上有解从而,又,或例6 已知函数,其中若函数仅在处有极值,则的取值范围是 答:提示:,显然不是方程的根为使
2、仅在处有极值,必须成立,即有解得这时,是唯一极值例7 若函数满足,且当时,则的大小关系为 答:提示:由,得函数的图象关于直线对称又当时,恒成立,在上为增函数 ,且,),即例8 若函数满足,则方程的实数解的个数为 个答:提示:设,则由题设知,在内至少有一个零点又,易知时,单调递增;时,单调递减仅有一个零点,即方程仅有一根例9 如图,从点作轴的垂线交曲线于点,曲线在点处的切线与轴交于点现从作轴的垂线交曲线于点,依次重复上述过程得到一系列点:,;,;,则 答:提示:设点的坐标是,曲线在点处的切线方程是令,则(), 例10 如图,用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形,记的面积为,则的最
3、大值是 答:提示:设,则记,则令,得当时,单调递增;当时,单调递减当时,取最大值,即取最大值,且最大值为例11 已知函数函数,其中若存在,使得成立,则实数的取值范围是 答:提示:当时,;当时,单调递增,综上,当时,又当时,故为单调增函数,存在,使得成立,的值域与的值域满足若,则或,解得或,从而满足题意的实数的取值范围是例12 已知,若对一切的恒成立,则实数a的取值范围为 答:提示:,则设,则,单调递增;,单调递减对一切,恒成立,例13 若函数对任意,都有,则实数的取值范围是 答:提示:当时,函数在上是增函数,又函数在上是减函数,不妨设,则,所以等价于,即设,则等价于函数在区间上是减函数,在时恒
4、成立,即在上恒成立,即不小于在区间内的最大值而函数在区间上是增函数,所以的最大值为,又,所以例14 已知都是定义在上的函数,(a0且,在有穷数列中,任意取正整数,则前k项和大于的概率是 答:提示:由题意知得或又知,数列的前k项和为,可求出二、解答题例15 设函数在上是增函数(1)求正实数的取值范围;(2)设,求证:解:(1)对恒成立,对恒成立 又,(2)由(1)知在上是增函数,即设函数,在上是增函数,又,当时,即综上所述,例16 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元1000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加
5、而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型制定奖励方案,试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求;(2)现有两个奖励函数模型:;.试分析这两个函数模型是否符合公司要求?解:(1)设奖励函数模型为yf(x),则公司对函数模型的基本要求是:当时,是增函数;恒成立;恒成立.(2)对于函数模型:当时,是增函数,则.恒成立. 函数在上是减函数,所以不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.对于函数模型:当时,是增函数,则.恒成立. 设,则.当时,所以在上是减函数,从而.,即,恒成立.故该函数模型符合公司要求.例17 已知函数,设曲线在与轴交点处的切线为,为的导函数,
6、满足(1)求;(2)设,求函数在上的最大值;(3)设,若对一切,不等式恒成立,求实数的取值范围解:(1),函数的图像关于直线对称,则直线与轴的交点为,且,即,且,解得,则(2),其图像如图所示当时,根据图像得:()当时,最大值为;()当时,最大值为;()当时,最大值为(3),当时,不等式恒成立等价于且恒成立由恒成立,得恒成立当时,又当时,由恒成立,得,实数的取值范围是例18 已知函数(1)若在上的最大值为,求实数的值;(2)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;(3)在(1)的条件下,设,对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点,使得是以(为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?请说明理由解:(1)由,得,令,得或列表如下:000极小值极大值由,即最大值为, (2)由,得,且等号不能同时取,恒成立,即令,求导得,当时,从而,在上为增函数,(3)由条件,假设曲线上存在两点满足题意,则只能在轴两侧,不妨设,则,且是以(为坐标原点)为直角顶点的直角三角形, ,是否存在等价于方程在且时是否有解若时,方程为,化简得,此方程无解;若时,方程为,即,设,则,显然,当时,即在上为增函数,的值域为,即,当时,方程总有解对任意给定的正实数,曲线 上总存在两点,使得是以(为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上