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1、湖南省衡阳市 衡东县草市中学高三数学文月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是（ ）A B C D参考答案：B2. 若集合，则集合的真子集的个数为（ ）A7B8C15D16参考答案：A试题分析：若集合，则集合，故其真子集的个数为个，故选A.考点：1、集合的基本运算；2、集合的基本关系.3. 已知定义在R上的函数是偶函数，对 时，的值为（ ） A2 B2 C4 D4参考答案：B4. 函数的图像关于原点对称，是偶函数
2、，则（ ）A.1 B. C. D. 参考答案：D知识点：函数奇偶性的性质解析：关于原点对称，函数是奇函数，是偶函数，对任意的都成立，对一切恒成立，故选：D【思路点拨】由题意可得对任意的都成立，代入整理可求；由题意可得对任意的都成立，代入整理可求。5. 在ABC中，已知（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sin（A+B），则ABC的形状（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形参考答案：D【考点】三角形的形状判断【专题】计算题；解三角形【分析】利用两角和与差的正弦将已知中的弦函数展开，整理后利用正弦定理将“边”化角的“正弦”，利用二倍角的正弦公式即可求得答案【解答
3、】解：（a2+b2）（sinAcosBcosAsinB）=（a2b2）（sinAcosB+cosAsinB），a2sinAcosBa2cosAsinB+b2sinAcosBb2cosAsinB=a2sinAcosB+a2cosAsinBb2sinAcosBb2cosAsinB，整理得：a2cosAsinB=b2sinAcosB，在ABC中，由正弦定理=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，代入整理得：sinAcosA=sinBcosB，2sinAcosA=2sinBcosB，sin2A=sin2B，2A=2B 或者2A=1802B，A=B或者A+B=90ABC是等腰三角形或者直角三角形故
4、选D【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦，属于中档题6. 若复数z=（a2 +2a 3）+（al）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为 A3 B3或1 C3或1 D1参考答案：A略7. 已知集合，下列说法正确的是（ ）A B C D参考答案：C略8. 执行下面的程序框图，则输出K的值为（ ）A.99B.98C.100D.101参考答案：A根据程序框图运算过程可得 此时， 成立所以 所以选A9. 函数y=ex+cosx在点（0，2）处的切线方程是（）Axy+2=0Bx+y2=0C2xy+2=0Dx2y+4=0参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专
5、题】计算题【分析】求出函数的导函数，把x=0代入导函数求出的函数值即为切线方程的斜率，根据求出的斜率和切点坐标写出切线方程即可【解答】解：由题意得：y=exsinx把x=0代入得：y|x=0=1，即切线方程的斜率k=1，而切点坐标为（0，2），则所求切线方程为：y2=x0，即xy+2=0故选A【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，是一道基础题10. 若，则的取值范围是（）ABCD参考答案：解析：，即，即，即；又由，得；综上，即选C本题考到了正弦函数的正负区间除三角函数的定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中
6、心、正负区间二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ；体积是_参考答案： 12. 已知向量，且，则（）的最小值为 参考答案：13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.参考答案： 试题分析：由题根据所给三视图易知该几何体为水平放置的半个圆柱与一个直三棱锥，故所求几何体的体积为.考点：三视图求体积14. 已知函数（是常数，）的最小正周期为.设集合直线为曲线在点处的切线，.若集合中有且只有两条直线相互垂直，则_；_.参考答案：【分析】本题是一个综合性较强的考题，与往年14题的命题思路有些不同，重点放在了知识的综合和
7、深入理解上。题目利用三角函数为基本背景，以切线关系为桥梁，代数的数值关系为核心构成的，同时利用集合的数学语言描述问题，内容十分丰富。首先需要理解集合是一个切线集合，同时这个条件要特别注意，这说明集合是一个完整周期内的全部切线，所以对于只影响左右位置的参数对于本题无关紧要。那么这道题目本质就是在说，三角函数一个周期内只存在一组相互垂直的直线，要去求出参数的值，那么我们就要关注所有的切线斜率及其之间的关系，这个斜率构成的集合中，只有两个斜率乘积为即可。【解】由于函数的周期为，则，可以解得，那么函数为，接下来求解函数在一个周期内的所有切线的斜率，由于可以取遍一个周期内的所有的点，故的范围为，则，那么
8、集合中所有的直线斜率取值范围为，那么要有在这个集合中只存在两个数互为负倒数。对于区间而言，其负倒数的对应区间为，若区间中有两个值互为负倒数，则其与对应的负倒数区间的交集中有且只有两个元素，那么（或），解得，又，故.15. 已知复数z1=2+i，z2=a+2i（i为虚数单位，aR）若z1z2为实数，则a的值为 参考答案：4考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出解答：解：=（2+i）（a+2i）=2a2+（a4）i为实数，a4=0，解得a=4故答案为：4点评：本题考查了复数的运算法则和复数为实数的充要条件，属于基础题16. 已知某
9、几何体的三视图如下，则该几何体的表面积是 参考答案：3617. 设Sn是等比数列an的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是 参考答案：2【考点】等比数列的前n项和【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列【分析】由已知利用等比数列的通项公式可求q3，然后利用等比数列的求和公式化简=，代入即可求解【解答】解：a3+2a6=0，=，即q3=，=2故答案是：2【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在中，三个内角A、B、C的对边分别为，若；（1）求证：成等差数列；（2）若，求
10、的面积参考答案：解：（1）由正弦定理得，即由正弦定理得，所以，成等差数列.（2）由及余弦定理得,即又，解得，（或者解得）所以，的面积略19. 已知函数f（x）=lnxax2，且函数f（x）在点（2，f（2）处 的切线的一个方向向量是（2，3）（1）若关于x的方程f（x）+x2=3xb在区间，2上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（2）证明：（）2（nN*，且n2）参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断【专题】转化思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值，由题意可得lnx+x23
11、x=b在，2上恰有两个不相等的实数根，即为g（x）=lnx+x23x和直线y=b在，2上有两个交点，求得g（x）的导数，可得单调区间，即可得到所求b的范围；（2）可得当x1时，f（x）0，f（x）递减即有lnxx2，即为lnx（x21），即有=，可令x=2，3，n，累加即可得证【解答】解：（1）函数f（x）=lnxax2的导数为f（x）=2ax，由题意可得在点（2，f（2）处的切线斜率为4a=，解得a=，即有f（x）=lnxx2，由题意可得lnx+x23x=b在，2上恰有两个不相等的实数根，即为g（x）=lnx+x23x和直线y=b在，2上有两个交点，由g（x）的导数为g（x）=+2x3=，当
12、x1时，g（x）0，g（x）递减；当1x2时，g（x）0，g（x）递增则有g（1）bg（），即为2bln2，解得ln2+b2；（2）证明：由f（x）=lnxx2的导数为f（x）=x=，当x1时，f（x）0，f（x）递减即有lnxx2，即为lnx（x21），即有=，则有+1+=1+=（3+）?【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数方程的转化思想和不等式的证明，注意运用函数的单调性和累加法，考查运算能力，属于中档题20. （本小题满分12分）如图，三棱柱ABCA1B1 C1中，侧棱AA1平面ABC，AB=BC=AA1=2，AC=2，E，F分别是A1B，BC的中点（I）证明：EF
13、平面A AlClC； （II）证明：平面A1ABB1平面BEC参考答案：21. 如图所示，直棱柱，底面是平行四边形， ，是边的中点，是边上的动点（1）求证：；（2）当时，（）求证：平面（）求面与底面所成的二面角的余弦值参考答案：（1）见解析；（2）（）见解析，（）（1）因为底面是平行四边形，所以，E是的中点，所以在直棱柱，因为底面，?底面，所以，因为，所以平面B1BCC1，又BF?平面B1BCC1，所以BF4分（2）（）由（1）知BF，在矩形中，因为1，又，平面8分（）以为原点，分别以，和所在直线为x轴，y轴，z轴，如图建系：则，所以，设面的法向量为，则，解得，令，所以，所以，由已知可知底面，所以是底面的一个法
