《2021年函数奇偶性的应用文档》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年函数奇偶性的应用文档（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载（1） 定义：假如对于函数fx定义域内的任意x 都有 f x= fx，就称 f x为奇函数；假如对于函数 f x定义域内的任意 x 都有 f x=fx，就称 f x为偶函数；假如函数 fx不具有上述性质，就fx不具有 奇偶性 .假如函数同时具有上述两条性质， 就 fx既是奇函数，又是偶函数；留意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，就 x 也肯定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（2） 利用定义判定函数奇偶性的格式步骤：1第一确定函数的定义域，
2、并判定其定义域是否关于原点对称；2确定 f x与 fx的关系；3作出相应结论：如 f x = fx 或 f x fx = 0 ，就 fx是偶函数； 如 f x = f x 或 f x fx = 0 ，就 fx是奇函数（3） 简洁性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；设 f x， g x 的定义域分别是D1, D 2 ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶 +偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇既是奇函数又是偶函数的有很多个一、典型例题（一）奇偶性的判定和证明 例1 判定以下函数的奇偶性（1）f xx31x
3、（ 2）f xx2（ 3）f xx211x2解：（ 1）f x的定义域为 ,00, ，关于原点对称 .f xx31x31f xxxf x是奇函数2f x的定义域为 -1,3,关于原点不对称，所以 f x为非奇非偶函数（ 3）f x的定义域为 -1,1, 关于原点不对称，且f x0f xf x, f xf xf x既是奇又是偶函数 二 利用函数奇偶性求函数解析式f xf x例 2已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，分析： 函数 f x 是定义在 R 上的奇函数， 所以简洁得出f 0f xx23 x ，求 f x .0 ，而对于 xa0. 偶函数yf x在区间 -b, a 上
4、是增函数；问：函数yf x在区间 a,b 上是增函数仍是减函数？解：设ax1x2b,就bx2x1a.f x在区间 - b, a 上是增函数 ,f x2 f x1 ,又由于 f x是偶函数，f x1f x1, f x2 f x2,f x2 f x1,f x在 a, b上是减函数 .说明：由函数的单调性和奇偶性的定义可以证明：在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性是相反的，奇函数的单调性是相同的.四利用奇函数偶函数的图像解题例 4设奇函数f x定义域为-5,5,如当x0,5时，f x的图像如下列图，求不等式 f x0的解集 .yO5x解： f x为奇函数，定义域为 -5,5，f x的图像关于原
5、点对称当f x0时， 2x0或2x5即不等式f x0的解集为x|2x0或2x5 五 构造奇函数或偶函数解题已知 f xx5ax3bx8,且f 210,f 2的值.解：令g xf x8x5ax3bx, 就g x是一个奇函数，所以g 2又由于g 20g2 f2 18g 2f 28 2由1 +2 得f 28 +f 28 =0f 210,f 226（六）有关函数奇偶性的综合问题例 6已知函数f x的定义域为 -2,2,函数g xf x1f 32 x（1） 求函数 g x的定义域（2） 如 f x为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g x0的解集解： 1 由题意可知2x121x3232x21x52
6、2解得 1x5 ，故函数 g x1 5的定义域为（ ，）222 2（2）由g x0得f x1f 32x0f x1f 32 xf x为奇函数 ,f x1f 2x3而f x定义域上单调递减x12 x31x522解得 1x22不等式g x01 2二、课堂练习：的解集为（ ，21. 判定以下函数的奇偶性（1）f x| x2 | x2 |（ 2）f x| x2 | x2 |2 已知函数f x的图像关于原点对称，并且当x0时，f xx22x3, 试求 fx在R上的表达式，补：画出它的图像与它的单调区间已知fx是奇函数，在（ 0， +）上是增函数，3求证： fx在（ -， 0）上也是增函数4 设f x在 R上 是 偶 函 数 ， 在 区 间（-，0）上 单 调 递 增 ， 并 且 有f 2 a2a1f 3a 22a1 ，求 a 的取值范畴 .答案： 1.偶函数、奇函数x22 x3 x02. fx0 x0,图略，单调增区间为（，1,1,，单调减区间为x2（-1,0），（ 0,1）2x3 x03.略4.0a110、-0.58、9、-1x011、解： f x22 f 3
