《2021年三角函数的不定积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年三角函数的不定积分（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载三角函数有理式的不定积分由 ux、vx 及常数经过有限次四就用算所得到的函数称为关于ux 、vx 的有理式，并用 Rux,vx 表示.Rsin x,cosxdx 是三角函数有理式的不定式 .一般通过变换有理函数的不定积分；这是由于t=tan x2,可把他化为xxx2sincos222 tan22tSinx=28222sinx 2cosx 21 tanx1t2Cosx=cos2 sin 2dx=xsin 2 x22xcos2 x222 dt1tan2 x 21tan2 x 21t 21t 29所以 Rsinx, cos xdx1 t 2R12t1t 2 ,1t 2t 2 12 d
2、t t 2（10）例3求sin1x1sin xdx cos x解令 t=tan x ,将8、（9）、（ 10）代入被积表达式， 221sin xdx =1 2t1t 222 dtsin1x1cos x12t1t1t1t 2 11t 2 1 t 2=t22dt t2t22lnt +C= 1 tan 2 x42xtan21xln tanC 22留意上面所用的交换 t=tan x 对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，2但并不意味着在任何场合都是简便的 .例 4求22a sindx22xbcosab0x解由于dxs e 2cxd t a xna 2 s i n2 x故令 t=tanx,就有b 2
3、 c o 2sxa 2 t a n2 xb 2 dxa 2 t a n2 xb 2 ,dx2222sec2 x222 dxd tan x222 ,asinxb cosxatanxbatanxb= 1 arctan atC abb适当当被积函数是sin 2x,cos2 x及 sinxcosx 的有理式时，采纳变换 t=tanx 往往比较便利 .其他特别情形可因题而异，挑选合适的变换；三某些无理根式的不定积分1. R x,axb dx 型不定积分（ ad-bc0）.对此只需令 t=ax cxdcxb , 就可化为有d理函数的不定积分；例 5求 1x xx2 dx2解令 t=x2 , 就有 x=x2
4、2t 2t 21 , dx 1t 28t1 2dt,1x2 dxxx21t4t 22 1t 2 dt ,2=1t 221 t 2dt=ln 1t1t2 arctan tC例6求1x2 x2= lnx2x2dx2 arctanx2C .x21解由于1x2xx 21x2xx211x 21 x ,2 x1x2t 216t故令 t=, 就有 x=2, dx2 dt,2x1t1tdx=11x dx1x12xx2t 2 26t1x 22x2=29t1dtt 2 22 dt3t=2C3t2 2xC.3 1x2. R x,ax 2bxc dx 型不定积分（ a0 时. b2 -4aco 时， b 24ac0
5、由于ax 2bxca xb 22a4acb 24a2,如记 u= xb , k 22a4acb24a2, 就此二次三项式必属于以下三种情形之一：a u2k 2 ,a u 2k 2 ,a k 2u 2.因此上述无理式的不定积分也就转化为以下三种类型之一:Ru,u 2k 2 du ,Ru,k2u 2 du.例7求Idxxx 22 x4解 【解法一】按上述一般步骤，求的I=x xdx124duu1（ x=u+1）=2 sectandu=2sec 2 sec1 2 tan=d122tdt2t= tan2cos1t2221t2arctan31tanC 32由于t a n 2s i n1c o st a
6、n1s e c u 21=2x22 x3,因此I= 23u1x122arctanx2x3 ,x1【 解法二】如令 x22x3xt,就 可解出t 23t 22t3x2t, d x12 x1 2d t,x 22 x3t 23t2t1t 22t22x13 .于是所求不定积分直接化为有理函数得不定积分：I=注 1可以证明x 22 x3xx 22 x3a r c t a n3a r c t a n,3 x13所以两种方法得结果是一样的；此外，上述结果对x0,就可令如c0,仍可令ax2bxcax 2bxaxt;cxtc这类变换称为 欧拉变换 .至此我们已经学过了求不定积分的基本方法， 以及某些特别类型不定
7、积分的求法；需要指出的是，通常所说的“求不定积分” ，是指用初等函数得形式把这个不定积分 表示出来；在这个意义下， 并不是任何初等函数得不定积分都能 “求e x dx ,2dx ,ln xs i nxdx, x1k 2 s i n2 xdx 0k 2出”来的；例如1等等，虽然没他们都存在， 但却无法用初等函数来表示 （这个结论证明起来是特别难的，刘纬尔（ liouville ）于 1835 年做出过证明）；因此可以说，初等函数的原函数不肯定是初等函数； 在下一章将会知道； 这类非出等函数可采纳定积分形式来表示；最终顺便指出，再求不定积分时 ,换可利用现成的积分表 .在积分表中全部的积分公式是按被积函数分类编排的人们只要依据被积函数的类型， 或经过适当变形化为表中列出的类型，查阅公式即可；此外，有些运算器（例如 TI-92 型）和电脑软件（例如 Mathemetica,Maple等）也具有求不定积分的使用功能 .但对于初学者来说，第一应当把握各种基本的积分方法 .在附录中列出了一份容量不大的积分表， 他大体上是典型例题和习题的总结. 列出这份积分表的主要目的的是为了大家学习后记课程供应便利 .
