概率论答案 - 李贤平版 - 第一章

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1、 概率论计算与证明题 32 第一章 事件与概率 1、若 A，B，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1) ；(2) ；(3) A ABC A C B A U U ；(4) . C AB BC A 2、试把 表示成n个两两互不相容事件的和 n A A A U L U U 2 1 3、若 A，B，C，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个； （2）这四个事件恰好发生两个；（3）A，B 都发生而 C，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生； （5）这四个事件中至多发生一个。 4、证明下列等式：（1） ； 1 3 2 1 2 3 2 n n n n n n

2、n nC C C C L （2） ； 0 ) 1 ( 3 2 1 3 2 1 n n n n n n nC C C C L （3） . r a k r a b a k b r k a C C C 0 5、袋中有白球 5只，黑球 6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一 卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边； （5）第三卷正好在正中。 7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概 率。 8、在一个装有

3、 n只白球，n只黑球，n只红球的袋中，任取 m 只球，求其中白、黑、红球分别有 只的概率。 ) ( , , 3 2 1 3 2 1 m m m m m m m 9、甲袋中有 3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有 10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中 各取一球，求两球颜色相同的概率。 10、由盛有号码 ，N 的球的箱子中有放回地摸了 n次球，依次记下其号码，试求这些号码按严 L , 2 , 1 格上升次序排列的概率。 11、任意从数列 ，N 中不放回地取出 n个数并按大小排列成： ，试 L , 2 , 1 n m x x x x L L 2 1 求 的概率，这里 。 M x m N M

4、 1 12、从 6只不同的手套中任取 4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？ 13、从 n双不同的鞋子中任取 2r(2rn)只，求下列事件发生的概率：（1）没有成对的鞋子；（2）只有 一对鞋子；（3）恰有两对鞋子；（4）有 r 对鞋子。 概率论计算与证明题 33 14、袋中有 n只球，记有号码 ，求下列事件的概率：（1）任意取出两球，号码为 1,2；（2） n , , 2 , 1 L 任意取出 3球，没有号码 1；（30任意取出 5球，号码 1,2,3,中至少出现一个。 15、袋中装有 号的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，试求在第 k次摸球 N , , 2 , 1 L 时首次

5、摸到 1号球的概率。 16、甲有 n+1 个硬币，乙有 n个硬币，双方投掷之后进行比较，求早掷出的正面比乙掷出的正面多的 概率。 17、一颗骰子投 4次至少得到一个六点，与两颗骰子投 24次至少得到一个双六这两件事，哪一个有更 多的机会遇到？ 18、从 52张扑克牌中任意抽取 13张来，问有 5张黑桃，3张红心，3张方块，2张草花的概率。 19、桥牌游戏中（四人各从 52张纸牌中分得 13张） ，求 4张 A 集中在一个人手中的概率。 20、在扑克牌游戏中（从 52张牌中任取 5张） ，求下列事件的概率：（1）以 A 打头的同花顺次五张牌； （2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四张牌同点

6、数；（4）三张同点数且另两张也同点数； （5）五张同花；（6）异花顺次五张牌；（7）三张同点数；（8）五比重中有两对；（9）五张中有 一对；（10）其它情况。 21、某码头只能容纳一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在 24小时内各时刻来到有可能性都相 等，如果它们需要停靠的时间分别为 3小时及 4小时，试求有一船要在江中等待的概率。 22、两人约定于 7点到 8点在某地会面，试求一人要等另一人半小时以上的概率。 23、设 是随机事件，试用归纳法证明下列公式： n A A A , , , 2 1 L 。 n i i j n n n j i i n A A A P A A P A P A A

7、A P 1 1 2 1 1 2 1 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( L L U L U U 24、考试时共有 N 张考签，n个学生参加考试 ，被抽过的考签立刻放回，求在考试结束后， ) ( N n 至少有一张考签没有被抽过的概率。 25、甲，乙丙三人按下面规则进行比赛，第一局由甲，乙参加而丙轮空，由第一局的优胜者与丙进行 第二局比赛，而失败者则轮空，比赛用这种方式一直进行到其中一个人连胜两局为止，连胜两局者 成为整场比赛的优胜者。若甲，乙，丙胜每局的概率各为 1/2，问甲，乙，丙成为整场比赛优胜者的 概率各是多少？ 26、给定 ，求 及 。 B A P r B P q A P p

8、U , , AB P B A P 27、已知： ，证明： 。 B A C AB C B P A P AB P , , ) ( ) ( ) ( C P A P AC P 28、 （1）已知 与 同时发生则 A 发生，试证： 1 1 A 2 A ) ( ) ( ) ( 2 1 A P A P A P （2）若 ，试证： A A A A 3 2 1 ) (A P 2 - ) ( ) ( ) ( 3 2 1 A P A P A P 29、利用概率论的想法证明下列恒等式： 概率论计算与证明题 34 a A a a A a A A A a A a A A a A ) 1 ( ) 1 ( 1 2 ) ( )

9、 2 )( 1 ( ) 1 )( ( 1 1 L L L 其中 A，a 都是正整数，且 。 a A 30、证明 的一切子集组成的集类是一个 域。 31、证明： 域之交仍为 域。 32、向边长为 的正方形由任意投一点，求此点正好落在对正方形对角形上的概率? a 33、在 10只电子表中有 2只是次品，现从中不放回的连续抽取两次，每次抽取一只，求正好抽到一个 是正品，一个是次品的概率? 34、在 5双不同的鞋中任取 4双，求至少能配成一双的概率? 35、在整数 0至 9中任取 4个，能排成一个四位偶数的概率是多少? 36、两人相约于 7点到 8点间在某地相会，约定先到者等候另一人 20分钟,过时离

10、去，试求这两人能会 面的概率是多少? 37、有 10个电阻，其电阻值分别为 ，从中取出三个，要求取出的三个电阻，一个小 1 ,2 , ,10 L 于 ,一个大于 ,另一个等于 ，问取一次就能达到要求的概率。 5 5 5 38、两船欲靠同一码头，设两船独立地到达，而且各自到达时间在一昼夜间是可能的，如果此两船在 码头停留的时间分别是 1及 2小时，试求一船要等待空出码头的概率。 39、任意取两个正的真分数，求它们的乘积不大于 1/4 的概率。 40、在区间 中随机取两数，求两数之和小于 1.2的概率。 (0,1) 41、设 3个事件 A，B，C，满足 ，求 。 AB ( ) P A B C U

11、U 42、某城市中发行 2种报纸 A，B。经调查，在这 2种报纸的订户中，订阅 A 报的有 45%，订阅 B 报 的有 35%，同时订阅 2种报纸 A，B 的有 10%。求：（1）只订 A 报的概率；（2）只订 1种报纸 的概率。 43、从 五个数码中，任取 3个不同数码排成三位数，求：（1）所得三位数为偶数的概率； 1,2,3,4,5 （2）所得三位数为奇数的概率。 44、电话号码由 6个数字组成，每个数字可以是 中的任一个数（但第 1个数字不能为 0） ， 0,1,2, ,9 L 求电话号码由完全不相同的数字组成的概率。 45、袋中有 5个白球和 3个黑球。从中任取 2个球，求：（1）取得

12、的 2个球同色的概率；（2）取得 的 2个球至少有 1个是白球的概率。 46、证明： ( ) ( ) - ( ) ( ) P AB P AC P BC P A 47、证明：包含一切形如 的区间的最小 域是一维波雷尔 域。 ) , ( x 概率论计算与证明题 35 第一章 解答 1、解：（1）ABC ，若 A 发生，则 B 与 C 必同 A C A B A ABC A BC A 且 显然) ( 时发生。 （2） ，B 发生或 C 发生，均导致 A 发生。 A C 且 A B A C B A C B A U U U （3） 与 B 同时发生必导致 C 发生。 A C AB （4） ，A 发生，则

13、B 与 C 至少有一不发生。 C B A BC A U 2、解： n A A A U L U U 2 1 ) ( ) ( 1 1 1 2 1 n n A A A A A A L L(或) 1 2 1 1 2 1 n n A A A A A A A L L 3、解：（1）至少发生一个= . D C B A U U U （2）恰发生两个= . C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB （3）A，B 都发生而 C，D 都不发生= . D C AB （4）都不发生= . D C B A D C B A U U U （5）至多发生一个= C B A D D B

14、A C D C A B D C B A D C B A . CD BD BC AD AC AB U U U U U 4、解：（1）因为 ，两边对 x求导得 n n n n n n x nC x C x C x L 2 2 1 1 ) 1 ( ，在其中令 x=1 即得所欲证。 1 2 1 1 2 ) 1 ( n n n n n n x nC x C C x n L （2）在上式中令 x=-1 即得所欲证。 （3）要原式有意义，必须 。由于 ，此题即等于要证 a r 0 k b b k b r b b a r a b a C C C C , .利用幂级数乘法可证明此式。因为 a k r b b a k b b r k a a r C C C 0 0 , ，比较等式两边 的系数即得证。 b a b a x x x ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( r b x 5、解： 15 . 0 33 5 /