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1、2022年河南省许昌市禹州文殊高级中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设变量满足约束条件：则的最小值为（ ）A B C D参考答案：D略2. 函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 参考答案：B首先转化题意，要使函数与的图象上存在关于轴对称的点，只需关于轴的对称的函数图象与的图象有交点，从而利用数形结合即可得到本题的答案.解答：要使函数与的图象上存在关于轴对称的点，只需关于轴的对称的函数图象与的图象有交点即可，即设与相切时，切点为，则，又点与两点连线斜
2、率，由图知的取值范围是时，函数图象与的图象有交点，即范围是时，函数与的图象上存在关于轴对称的点，故选B.说明：本题主要考查数学解题过程中的数形结合思想和化归思想.导数以及直线斜率的灵活应用，属于难题3. 设函数的定义域为,若函数满足条件：存在,使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是A B C D参考答案：A4. 从中任取个数字, 可以组成没有重复数字的三位数共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个参考答案：C略5. 已知向量，若与共线，则必有（ ） A B C D或参考答案：D略6. 已知两条直线:y=m 和:y=(m0)，与函数的图像从左至右
3、相交于点A,B,与函数的图像从左至右相交于C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为( ) A B. C. D. 参考答案：D略7. 已知椭圆C1：1（ab0）与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点.若C1恰好将线段AB三等分，则A. a2 B. a213 C. b2 D. b22参考答案：C8. 如果实数x、y满足那么z =2x+y的范围为 ( )A BC D 参考答案：B略9. 已知点A（4，4）在抛物线y2=2px （p0）上，该抛物线的焦点为F，过点A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则EAF的平分线
4、所在的直线方程为（）A2x+y12=0Bx+2y12=0C2xy4=0Dx2y+4=0参考答案：D【分析】先求出抛物线方程，再抛物线的定义可得|AF|=|AE|，所以EAF的平分线所在直线就是线段EF的垂直平分线，从而可得结论【解答】解：点A（4，4）在抛物线y2=2px（p0）上，16=8p，p=2抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=1，E（1，4）由抛物线的定义可得|AF|=|AE|，所以EAF的平分线所在直线就是线段EF的垂直平分线kEF=2，EAF的平分线所在直线的方程为y4=（x4），即x2y+4=0故选D【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题10.
5、的值为 （ ） B. C. D.- 参考答案：答案：D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则= 参考答案：12. 设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=9x+7若f（x）a+1对一切x0成立，则a的取值范围为参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式【分析】先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x0时函数的解析式，将f（x）a+1对一切x0成立转化为函数的最小值a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x0时，则x0，所以f
6、（x）=9x+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+7；因为f（x）a+1对一切x0成立，所以当x=0时，0a+1成立，所以a1；当x0时，9x+7a+1成立，只需要9x+7的最小值a+1，因为9x+72=6|a|7，所以6|a|7a+1，解得，所以故答案为：13. 小王同学有本不同的语文书和本不同的英语书，从中任取本，则语文书和英语书各有本的概率为_（结果用分数表示）。参考答案：中任取本，有种，语文和英语各有1本有种，所以从中任取本，则语文书和英语书各有本的概率为。14. 已知非零向量，满足|=|=|+|，则与2夹角的余弦值为参考答案：【考点】平面向量数量积的运算【分析
7、】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理，数形结合求得与夹角的余弦值【解答】解：非零向量满足，不妨设=1，设与夹角为，如图所示：设=， =， =+，则OA=0B=0C=1，设=2=2，则=2，ODA即为，OAC和OBC都是边长等于3的等边三角形利用余弦定理可得BD=，cos=，故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理的应用，属于中档题15. 已知为实数集，集合，则= _ .参考答案：16. 实数x，y满足x2y2，则3x9y的最小值是_.参考答案：617. 集合共有 个真子集.参考答案：7略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文
8、字说明，证明过程或演算步骤18. 已知P-ABC为正三棱锥，底面边长为2，设D为PB的中点，且，如图所示.（）求证：PC平面PAB；（）求二面角的平面角的余弦值.参考答案：（）见解析；（）.【分析】（）以中点为空间直角坐标系的原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用法向量证明平面；（）求出平面和平面的法向量，利用空间向量数量积，可以求出二面角的平面角的余弦值.【详解】（）以中点为空间直角坐标系的原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：，由于点在平面的射影为三角形的中心，设，所以，而，平面，所以平面；（）由中点坐标公式可知：，由可知:，解得，设
9、平面的法向量为，因为，所以，取，解得，平面的法向量为，所求二面角的平面角为，则，二面角的平面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了二面角的平面角的求法，建立空间直角坐标系，利用空间向量知识是解题的关键.19. （本小题满分12分）已知函数在x2处取得极值为c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值参考答案：解(1)因f(x)ax3bxc，故f(x)3ax2b，由于f(x)在点x2处取得极值c16，故有即化简得解得 .6分(2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x212.令f(x)0，得x2或2，当x(，2)时，f(x)0，故f
10、(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c，f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知，16c28，解得c12，此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4. . .12分20. 设当时，函数的值域为，且当时，恒有，求实数k的取值范围参考答案：令t=2，由x1，则t（0，2，则原函数y=t-2t+2=（t-1）+11，2，即D=1，2，由题意：f（x）=x2+kx+54x，法1：则x2+（k-4）x+50当xD时恒成立 k-2。法2：则
11、在时恒成立，故21. 已知，且，数列、满足，(1) 求证数列是等比数列；(2) (文科) 已知数列满足，试建立数列的递推公式(要求不含)；(3)(文科) 若数列的前项和为，求参考答案：证明(1)，,. ， 又， 数列是公比为3，首项为的等比数列 (文科)依据(1)可以，得于是，有，即又，则. 因此，数列的递推公式是(3)（文科）由(2)可知，数列是公差为1，首项为的等差数列，于是，故 因此，将上述两个等式相减，得，可化简为 所以 22. （12分）对于函数，若存在x0R，使方程成立，则称x0为的不动点，已知函数（a0）（1）当时，求函数的不动点；(2) 当时，求在上的最小值.（3）若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；参考答案：【知识点】二次函数的性质.B5 【答案解析】(1) 3和1 (2)见解析； (3) 。解析：（1）由题得：，因为为不动点，因此有，即所以或，即3和1为的不动点。（2）当t时，g（t）=t2+t3当t时，g（t）=当t时，g（t）=t2t3（3）因为恒有两个不动点， ，即 （）恒有两个不等实数根， 由题设恒成立， 10分即对于任意bR，有恒成立，所以有 ， 【思路点拨】（1）首先利用信息要求解出结果（2）二次函数的轴固定区间不固定的讨论（3）恒成立问题的应用
