《2022年湖南省衡阳市耒阳亮源中学高三数学理模拟试题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年湖南省衡阳市耒阳亮源中学高三数学理模拟试题含解析（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年湖南省衡阳市耒阳亮源中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个 相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于（ ）A. 1 B. C. D.参考答案：D.试题分析：由题意得，故选D.考点：三角恒等变形.2. 设分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，半径为a的圆I与的延长线线段及的延长线分别切于点，则该双曲线的离心率为（ ）A2 B C
2、3 D参考答案：3. 在数列中，则的值为（ ）A. 49 B. 50 C. 51 D. 52参考答案：D略4. 已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2X4）=0.6826，则P（X4）=( )A0.1585B0.1588C0.1587D0.1586参考答案：C考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（X4）解答：解：随机变量X服从正态分布N（3，1），正态曲线的对称轴是x=3，P（2X4）=0.6826，P（X4）=0.5P（2X4）=0.50.3413=0.1587故选：C点评
3、：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题5. 已知函数且当，则的图象的交点个数为（ ） A3 B4 C5 D6参考答案：答案：D 6. 已知点,，则向量 在方向上的投影为（ ）ABCD参考答案：A略7. 已知两个单位向量满足，则的夹角为（ ）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】由已知模求出，再利用向量夹角公式计算。【详解】是单位向量，。故选：A。【点睛】本题考查求向量的夹角，可根据数量积定义由两向量的数量积求出其夹角的余弦，而求向量的数量积必须利用向量的模与向量数量积的关系转化计算，即。8. 点P在双曲线上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点
4、F1PF2=90,且F1PF2的三条边长之比为3：4：5则双曲线的渐近线方程是A B CD参考答案：9. 已知函数 是定义在R上的奇函数，其导函数为 ，且x0时， 恒成立，则 的大小关系为 A. B C D 参考答案：D10. 已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数 的图像关于直线对称，则下列命题为真命题的是ABC D参考答案：D略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列，圆 ，圆 ，若圆C2平分圆C1的周长，则的所有项的和为 .参考答案：设圆与圆交于,，则直线的方程为：，化简得：又圆平分圆的周长，则直线过,代入的方程得：,.12. 数列的前n项和
5、为，若数列的各项按如下规律排列：有如下运算和结论：数列是等比数列；数列的前n项和为若存在正整数k，使其中正确的结论有 （填写序号）。参考答案：略13. 从编号为，的件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是的样本，若编号为的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为 参考答案： 14. 在平面直角坐标系中，是的中点，当在轴上移动时，与满足的关系式为 ；点的轨迹的方程为 参考答案： (1). (2). 由题意得 ,即 ；设，则，所以 ，因为，所以 ，从而点的轨迹的方程为.15. 已知点是锐角的外心，. 若，则 参考答案：【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F25如图，点在上的射影是点，它们分别为的
6、中点，由数量积的几何意义，可得，依题意有:，即，即将两式相加可得：.【思路点拨】由数量积的几何意义，可得，,再根据数量积求得。16. 若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的横坐标为 参考答案：317. 已知函数f(x)=x的图象过点(4,2)，令，记数列的前n项和为，则= 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分13分）在数列an中，a1=1，an=n21+ （n2，nN）（1）当n2时，求证：=（2）求证：（1+）（1+）（1+）b0)的离心率e=，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与AB交于点D，若ADC的面积为
7、15()求椭圆C的方程；()是否存在分别以AD，AC为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由参考答案：()解：设左焦点F的坐标为(-c，0)，其中c=，e=，a=c，b=c1分A(0，c)，B(-c，0)，C(0，-c)，2分AB：，CF：，3分联立解得D点的坐标为(-c，c)4分ADC的面积为15，|xD|AC|=15，即c2c=15，解得c=3，a=5，b=4，椭圆C的方程为6分()由()知，A点的坐标为(0，4)，D点的坐标为(-，1)7分假设存在这样的两个圆M与圆N，其中AD是圆M的弦，AC是圆N的弦，则点M在线段AD的垂直平分线上，点N在线段AC的
8、垂直平分线y=0上8分当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=ANM、N关于点A对称，设M(x1，y1)，则N(-x1，8-y1)，9分根据点N在直线y=0上，y1=8M(x1，8)，N(-x1，0)，而点M 在线段AD的垂直平分线y-=-(x+)上，可求得x1=-10分故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为M(-，8)，N(，0)12分20. 设函数其中（1）求函数的单调减区间；（2）若，求函数的值域。参考答案：略21. (本小题满分12分）已知抛物线y2=2px (p0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4(1)求t，p的值；(2)设A、B是抛物线上分
9、别位于x轴两侧的两个动点，且（其中 O为坐标原点）()求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；()过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值参考答案：（1）p=2 （2） 96【知识点】抛物线及其几何性质H7（1）由已知得，所以抛物线方程为y2=4x，代入可解得. （2）()设直线AB的方程为，、 ，联立得，则，. 由得：或（舍去），即，所以直线AB过定点； ()由()得，同理得，则四边形ACBD面积令，则是关于的增函数，故.当且仅当时取到最小值96. 【思路点拨】根据抛物线性质求出方程，直线和抛物线联立求出最小值。22. 春节来临，有农民工兄弟A、B、C、D
10、四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响若A、B、C、D获得火车票的概率分别是p1，p3，其中p1p3，又 p1，2p3成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是（1）求p1，p3的值；（2）若C、D是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家设X表示A、B、C、D能够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX参考答案：【分析】（1）由A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是，列出方程组，能求出p1，p3的值（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX【解答】解：（1）A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是，（1分）联立方程组，（3分）由p1p3，解得（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，（6分）（7分）（8分）（9分）（10分）X的分布列为：X01234P（11分）（12分）【点评】本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，解答本题的关键是正确理解离散型随机变量的分布列的性质，是中档题
