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1、湖南省衡阳市县光华实验中学高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ( )A9 B12 C11 D 参考答案：B略2. 若为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（ ）（A） （B） （C） （D）参考答案：D略3. 设0a1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea-1的大小关系为（ ）Aea-1aae Baeaea-1 C.aeea-1a Daea-1ae参考答案：B在 R 上单调递减得：，由函数在 在上的单调性知（求导）：也可取特殊值估算
2、检验得 B 正确.【命题意图】此题考查了单调性比较大小，构造函数策略.4. 已知均为正实数，定义，若，则的值为（ ）A、 B、 C、 D、或参考答案：C略5. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 参考答案：A【知识点】三视图解析：由三视图可知该几何体上面为两个半圆柱，下面为一个长方体，所以其体积为，则选A.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是正确分析原几何体的特征，熟悉常见的几何体的三视图特征是解题的关键.6. 在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有 （ ） A.
3、0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个参考答案：C略7. 已知椭圆的右焦点F是抛物线的焦点，则过F作倾斜角为60的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，则的值为（ ）A. B. 2C. 3D. 4参考答案：C【分析】利用抛物线的定义和焦点弦的性质，求得，进而可求得的值【详解】由椭圆，可得右焦点为，所以，解得，设，由抛物线定义可得，所以，又由，可得，所以.故选C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，以及抛物线的焦点弦的性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8. 数列的前项和记为，则数列的通项公式是（ ）A. B. C. D.参考
4、答案：C9. 函数y= 的图象大致是ABCD参考答案：B10. 设集合，则中元素的个数是( )A3B4C5D 6参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在等比数列中，且，则的最小值为_ _ . 参考答案：略12. 记的展开式中第m项的系数为，若，则=_.参考答案：【答案】5 【解析】由得所以解得13. 将集合M=1，2，12的元素分成不相交的三个子集：M=ABC，其中A=a1，a2，a3，a4B=b1，b2，b3，b4C=c1，c2，c3，c4，c1c2c3c4，且ak+bk=ck，k=1，2，3，4，则集合C为：_参考答案：8，9，10，12，7，9，11，12
5、，6，10，11，12略14. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如右图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 .；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.参考答案：（1） （2） 15. 已知，若，则等于 参考答案：5【考点】93：向量的模【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利
6、用向量的数量积公式列出方程求出m，再根据向量模的定义即可求出【解答】解： =（2，1），=（3，m），=（1，1m），（），?（）=2+1m=0，解得，m=1，+=（5，0），|+|=5，故答案为：5【点评】本题考查向量垂直的充要条件、向量的数量积公式，向量的模，属于基础题16. （5分）已知偶函数f（x）满足f（x+1）=，且当x1，0时，f（x）=x2，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是 参考答案：5，+）【考点】： 抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系综合题；函数的性质及应用【分析】： 根据f（x+1）=，可得f（x）是周期为
7、2的周期函数 再由f（x）是偶函数，当x1，0时，f（x）=x2，可得函数在1，3上的解析式根据题意可得函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围解：函数f（x）满足f（x+1）=，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数再由f（x）是偶函数，当x1，0时，f（x）=x2，可得当x0，1时，f（x）=x2，故当x1，1时，f（x）=x2 ，当x1，3时，f（x）=（x2）2由于函数g（x）=f（x）loga（x+2）有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=loga（x+2）有4个交点，所以可得1loga（3+2），实数a的取值范围是5，+
8、）故答案为：5，+）【点评】： 本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题17. （原创）设等差数列有无穷多项，各项均为正数，前项和为，且，则的最大值为 .参考答案：16略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分15分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱与底面垂直，AB=AC=1，AA1=2， P、Q、M分别是棱BB1、CC1、B1C1的中点，ABAQ（1）求证：ACA1P；（2）求证：AQ面A1PM；（3）求AQ与面BCC1B1所成角的大小参考答案：(1) 由已知AA1AB，又AB
9、A1Q，AB面AA1C1C，ABAC，又ACAA1，AC面AA1B1B，ACA1P (2)延长PM交CC1于J P,M是棱B, B1C1中点, B1PM C1MJ ,C1J=1在面AA1C1C中由AA1QJ, CQ=1, AA1= QJ四边形A1AQJ是平行四边形AQA1J AQ面A1PM (3) M是等腰三角形A1B1C1 中点，A1MB1C1，又由已知A1MCC1,A1M面BCB1C1，又A1JAQ，AJM就是AQ与面BCC1B1所成角A1M=, A1J=,sinA1JM=,A1JM=30即AQ与面BCC1B1所成角为3019. 设an是单调递增的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知，且
10、，构成等差数列 （1）求an及Sn；（2）是否存在常数使得数列是等比数列?若存在，求的值；若不存在，请说明理由参考答案：（1），（2）存在常数使得数列是等比数列，详见解析【分析】（1）根据已知得到方程组，解方程组得q的值，即得及；（2）假设存在常数使得数列是等比数列，由题得，解之即得，检验即得解.【详解】（1）由题意得 ， ， 解得或 （舍） 所以， . （2）假设存在常数使得数列是等比数列，因为，所以，解得， 此时 ， 存在常数使得数列是首项为，公比为等比数列 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求法，考查等比数列的前n项和的求法，考查等比数列的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分
11、析推理能力.20. 如图，O是等腰三角形ABC的外接圆，AB =AC，延长BC到点D，使CD =AC，连接AD交O于点E，连接BE与AC交于点F。 （I）判断BE是否平分ABC，并说明理由； （）若AE =6，BE =8，求EF的长。 参考答案：略21. 数列an满足an+5an+1=36n+18，nN*，且a1=4（1）写出an的前3项，并猜想其通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想参考答案：【考点】RG：数学归纳法；81：数列的概念及简单表示法【分析】（1）运用代入计算，可得an的前3项，猜想an=6n2，nN*；（2）运用数学归纳法证明，验证n=1时，结论成立；假设n=k，kN+时，猜
12、想成立，即有ak=6k2，再证n=k+1时，结论也成立，注意运用已知条件和假设，化简整理即可得证【解答】解：（1）由an+5an+1=36n+18，nN*，且a1=4，可得a1+5a2=36+18=54，即有a2=10，由a2+5a3=72+18=90，可得a3=16，猜想an=6n2，nN*；（2）证明：当n=1时，a1=4=612成立；假设n=k，kN+时，猜想成立，即有ak=6k2，由ak+5ak+1=36k+18，及ak=6k2，即5ak+1=36k+186k+2=30k+20，得ak+1=6k+4=6（k+1）2，即当n=k+1时猜想成立，由可知，an=6n2对一切正整数n均成立22. （本小题满分5分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）若直线与圆相切，求实数m的值.参考答案：解：由，得， 即圆的方程为， -4分又由消，得， -7分直线与圆相切， ， -10分
