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1、北京北师大密云实验中学高二数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若不等式组表示的区域，不等式（x）2+y2表示的区域为，向区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为（）A114B10C150D50参考答案：A【考点】几何概型；简单线性规划【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域内的概率【解答】解：作出平面区域如图：则区域的面积为SABC=区域表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域和的公共面积为S=+=芝麻落入区域的概率为=落在区域中芝麻数约为360=30+20114故选A
2、2. 如图，平行四边形ABCD中，若的面积等于，则的面积等于（ ）A B C D 参考答案：C3. 已知某物体的运动方程是(的单位为m), 则当时的瞬时速度是A. 10m /s B. 9m /s C. 4m /s D. 3m /s参考答案：C略4. 将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),所得图象关于直线对称,则的最小值为（ ） A B C D 参考答案：C5. 若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是 A B C D参考答案：B6. 右图是边长相等的两个正方形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正视图、侧视图如右图；存在四棱柱，其正视图、侧视图如右图；
3、存在圆柱，其正视图、侧视图如右图其中真命题的个数是A. 3 B.2 C.1 D.0参考答案：A略7. 直线xsin+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A0，）B0，）C0，D0， （，）参考答案：B【考点】直线的倾斜角【专题】计算题【分析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围【解答】解：直线xsin+y+2=0的斜率为k=sin，1sin1，1k1倾斜角的取值范围是0，）故选B【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题8. 利用归纳推理推断，当是自然数时，的值A一定是零B不一定是整数C一定是偶数D是整数但不一定是偶数参考答案：C本题考查学生的归纳推理能力当
4、时，偶数当时，偶数当时，偶数当时，偶数当时，偶数当时，偶数当时，因，所以中一必有一个是偶数，必为偶数.当时，偶数由此猜想必为偶数. 故正确答案为C。【解析】9. 公元前3世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即V=kd3，与此类似，我们可以得到：（1）正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ma3；（2）正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=na3；（3）正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ta3；那么m：n：t=（）A1：6：4B：12：1
5、6C：1：D：6：4参考答案：A【考点】F3：类比推理【分析】求出正四面体、正方体、正八面体的体积，类比推力即可得出【解答】解：由题意，正四面体的体积V=a3；正方体的体积V=a3；正八面体的体积V=2=a3，m：n：t=1：6：4，故选A10. 函数在内存在极值点，则（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】求得函数的导数，要使得函数在内存在极值点，根据二次函数的性质，得到，即可求解。【详解】由题意，函数，则，要使得函数在内存在极值点，由二次函数的图像与性质，可得，即，解得，故选B。【点睛】本题主要考查了利用函数的极值求参数问题，其中解答中熟记导数与函数的极值之间的关系，合理列出不等
6、式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 命题“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是_.该否命题的真假性是_. (填“真”或“假”) 参考答案：命题“若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数”,假略12. 设是双曲线的左,右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率是 .参考答案：略13. 四个人进3个不同的房间，其中每个房间都不能空闲，则这四个人不同的住法种数是_。参考答案：3614. 命题的否定是 . 参考答案：15. 数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前60项和
7、为参考答案：1830考点： 数列递推式；数列的求和专题： 计算题；压轴题分析： 令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n3+a4n2+a4n2+a4n+16=bn+16可得数列bn是以16为公差的等差数列，而an的前60项和为即为数列bn的前15项和，由等差数列的求和公式可求解答： 解：，令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）（a4n+2a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n
8、+8，则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n3+a4n2+a4n1+a4n+16=bn+16数列bn是以16为公差的等差数列，an的前60项和为即为数列bn的前15项和b1=a1+a2+a3+a4=10=1830点评： 本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数列16. 梯形内接于抛物线，其中，且，设直线的斜率为，则 . 参考答案：略17. 一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为 参考答案：6【考点】球的体积和表面积【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可【解答】解：
9、设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4R2R=6故答案为：6三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知集合，集合，若，求实数的值组成的集合。参考答案： 1分又 3分（1） 当时，5分（2） 当时，8分（3） 当时，11分综上所述，的取值集合是12分19. 有甲、乙两个学习小组，每个小组各有四名学生，在一次数学考试中，成绩情况如下表：甲组学生一二三四成绩78929888乙组学生一二三四成绩86958296（）用茎叶图表示两组的成绩情况；（）分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩，求选取的这两名学生中，至少有一名学生的
10、成绩在90以上的概率参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图 专题：计算题分析：（I）把两组数据的十位做茎，个位做叶，得到作出茎叶图（II）先列举出分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩，所有可能的结果的个数，然后求出选取的这两名学生中，至少有一名学生的成绩在90以上的基本事件的个数，由等可能事件的概率的求解公式即可解答：解：（）茎叶图：（）分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩，所有可能的结果有16种，它们是：（78，86），（78，95），（78，82），（78，96），（92，86），（92，95），（92，82），（92，96）（98，86），（98，95），（98，82）
11、，（98，96），（88，86），（88，95），（88，82），（88，96）设“选取的这两名学生中，至少有一名学生的成绩在90以上”为事件A，则A中包含的基本事件有12个，它们是：（78，95），（78，96），（92，86），（92，95），（92，82），（92，96）（98，86），（98，95），（98，82），（98，96），（88，95），（88，96）所以所求概率为 P（A）= 点评：本题主要考查了由统计图表绘制茎叶图，及等可能事件的概率求解公式的应用20. 解关于x的不等式参考答案：解：原不等式等价与：当时，；当时，由知，；当时，考虑当时，故或；当时，故；当时，故或综上所述
12、：当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为略21. 已知点A(2，a)，圆C：(x1)2y25。(I)若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；(II)设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值。参考答案：22. 已知椭圆的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，且过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若在直线上任取一点P，从点P向的外接圆引一条切线，切点为Q.问是否存在点M，恒有？请说明理由.参考答案：(1) (2) ，或【分析】（1）求出后可得椭圆的标准方程.（2）先求出的外接圆的方程，设点为点为，则由可得对任意的恒成立，故可得关于的方程，从而求得的坐标.【详解】解：（1）因为椭圆的离心率为，所以. 又椭圆过点，所以代入得. 又. 由，解得.所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）得，的坐标分别是.因为的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上，即的外接圆的圆心一定在轴上，所以可设的外接圆的圆心为，半径为，圆心的坐标为，则由及两点间的距离公式，得，解得.所以圆心的坐标为，半径，所以的外接圆的方程为，即.设点为点为，因为，所以，化简，得，所以，消去，得，解得或.当时，；当时，.所以存在点，或满足条件.
