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1、湖南省长沙市雨花外国语学校高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限参考答案：D试题分析：由纯虚数的定义可得,解之得,则复数在复平面内对应的点在第四象限,故应选D.考点：复数的有关概念与几何意义.2. 已知函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为 A B C（1，2） D（1，4）参考答案：A3. 函数的定义域是（）A（1，+）B1，+）C（1，1）（1
2、，+）D1，1）（1，+）参考答案：C考点：函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：依题意可知要使函数有意义需要x+10且x10，进而可求得x的范围解答：解：要使函数有意义需，解得x1且x1函数的定义域是（1，1）（1，+）故选C点评：本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题4. 已知向量，则向量与夹角等于（ ）A B C D参考答案：A5. 已知命题，则（ ）A BC D参考答案：D6. 若的大小关系为Aabc BbacCbca Dcba参考答案：C7. 已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内的对应点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限参考
3、答案：C8. 函数的部分图象如图所示，若，且，则( )A B C D参考答案：D9. 一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为（）A24B16C12D8参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】画出图形，利用三视图的数据，求解棱锥的体积即可【解答】解：由题意可知几何体为如图所示的四棱锥：棱锥的底面是边长为：2，3的矩形，棱锥的高为4，四棱锥的体积为：=8故选：D【点评】本题考查三视图与几何体是直观图的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力10. 是成立的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：答案:C 二、 填空题:
4、本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 椭圆两焦点之间的距离为 参考答案：12. 若复数（是虚数单位），则 .参考答案：13. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变。所得到的曲线对应的函数解析式是 ； 参考答案：14. 若复数满足（是虚数单位），则其共轭复数=- 参考答案：-i略15. 函数在点处的切线的斜率是 .参考答案：216. 在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是_参考答案：略17. 若抛物线y2=（m0）的焦点在圆x2+y2=1外，则实数m的取值范围是参考答案：（0，1）考点：抛物线的简单性质专
5、题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线y2=（m0）的焦点F坐标为（，0），由F在圆x2+y2=1外，可得：1，进而可得实数m的取值范围解答：解：抛物线y2=（m0）的焦点F坐标为（，0），若F在圆x2+y2=1外，则1，解得m（0，1），故答案为：（0，1）点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，点与圆的位置关系，是抛物线与圆的综合应用，难度不大，属于基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=|x1|+|x2|（1）求不等式f（x）x的解集；（2）当时，求证：|a+b|+|ab|a|f（x）（a0，a，bR）参考答
6、案：【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明【分析】（1）写出分段函数，即可求不等式f（x）x的解集；（2）由（1）知，当时，1f（x）2，可得|a|f（x）2|a|利用绝对值不等式即可证明【解答】（1）解：由题，f（x）x的解集为（，13，+）（2）证明：由（1）知，当时，1f（x）2|a|f（x）2|a|又|a+b|+|ab|（a+b）+（ab）|2|a|，|a+b|+|ab|2|a|a|f（x），即|a+b|+|ab|a|f（x）（a0，a，bR）19. 已知x=1是的一个极值点（）求b的值；（）求函数f（x）的单调减区间；（）设g（x）=f（x），试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线
7、y=g（x）相切？请说明理由参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】综合题【分析】（）先求出f（x），再由x=1是的一个极值点，得f（1）=0，由此能求出b（II）由f（x）=2+0，得，再结合函数的定义域能求出函数的单调减区间（III）g（x）=f（x）=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），故2x0+lnx05=（2+）（x02），由此能够推导出过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切【解答】解：（）x=1是的一个极值点，f（x）=2+，f（1）=0，即2b+1=0，b=3，
8、经检验，适合题意，b=3（II）由f（x）=2+0，得，又x0（定义域），函数的单调减区间为（0，1（III）g（x）=f（x）=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），即2x0+lnx05=（2+）（x02），lnx0+5=（2+）（x02），lnx0+2=0，令h（x）=lnx+，x=2h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，h（）=2ln20，h（2）=ln210，h（e2）=0，h（x）与x轴有两个交点，过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切【点评】本题考查实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2，5）可作多少条直线与曲
9、线y=g（x）相切，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答20. （本题满分12分）已知方程。（1）若是它的一个根，求k的值；（2）若，求满足方程的所有虚数的和。参考答案：（1） （2）19021. 已知函数f（x）=x2+ax，g（x）=ex，aR且a0，e=2.718，e为自然对数的底数（）求函数h（x）=f（x）?g（x）在1，1上极值点的个数；（）令函数p（x）=f（x）?g（x），若?a1，3，函数p（x）在区间b+aea，+上均为增函数，求证：be37参考答案：【考点】6B：
10、利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值【分析】（）求出函数h（x）的导函数，h（x）=，令t（x）=x2+2（a+1）x+2a，求出t（x）的两个零点1，1然后分a和a讨论函数的单调性，从而求得函数h（x）=f（x）?g（x）在1，1上的一个极值点的个数；（）由函数p（x）在区间b+aea，+上为增函数，可得p（x）=ex（x+a+1）0在区间b+aea，+上恒成立，转化为x+a+10在区间b+aea，+上恒成立，得到bea2a1对?a1，3恒成立，令（a）=ea2a1，求导可得（a）=ea2a1在1，3上为增函数，则（a）的最大值为（3）=e37从而证得be37【解答】（）解
11、：f（x）=x2+ax，g（x）=ex，h（x）=f（x）?g（x）=（x2+ax）ex，h（x）=，令t（x）=x2+2（a+1）x+2a，由t（x）=0，得1，1若a，则x21，t（x）0在1，1上恒成立，即h（x）在1，1上恒成立，h（x）单调递减，在1，1上无极值点；若a，则1x21，当x1，x2）时，t（x）0，即h（x）0，h（x）单调递减，当x（x2，1时，t（x）0，即h（x）0，h（x）单调递增，x2是函数h（x）=f（x）?g（x）在1，1上的一个极值点（）证明：p（x）=f（x）?g（x）=（x+a）ex，p（x）=ex（x+a+1），函数p（x）在区间b+aea，+上为
12、增函数，ex（x+a+1）0在区间b+aea，+上恒成立，即x+a+10在区间b+aea，+上恒成立，则b+aea+a+10对?a1，3恒成立，bea2a1对?a1，3恒成立，令（a）=ea2a1，则（a）=ea20，（a）=ea2a1在1，3上为增函数，则（a）的最大值为（3）=e37be37【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，属难题22. （12分）已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对，都有.参考答案：（1）当时，函数，定义域为，.令可得，令可得.所以的单调增区间为，单调减区间为.3分（2），.当时，.故在区间上递增，所以，从而在区间上递增.所以对一切恒成立.当时，.当时，当时，.所以时，.而，故.所以当时，递减，由，知，此时对一切不恒成立.当时，在区间上递减，有，从而在区间上递减，有.此时对一切不恒成立.综上，实数a的取值范围是.9分（3）由（2）可知，取，当时，有.取，有，即.所以，所以.12分
