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1、福建省福州市市第十八中学高三数学理摸底试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量 其中，若，则的值是A0 B2 C4 D8 参考答案：C略2. 在等比数列 中，则=（ ）A. 2 B. -2 C. D. 参考答案：D3. 定义一种运算，若函数， 是方程的解，且，则的值（ ） A恒为正值 B等于 C恒为负值 D不大于参考答案：A略4. 将函数的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到函数f(x)的图象，则“”是“f(x)是偶函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必
2、要条件参考答案：A【分析】求出函数的解析式，由函数为偶函数得出的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为，若函数为偶函数，则，解得，当时，.因此，“”是“是偶函数”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.5. 双曲线的一个焦点坐标是（ ）ABCD（1，0）参考答案：A6. 设全集，则集合（CUM）N等于 A B（1，2） C（2，1） D参考答案：B7. 已知某空间几何体的三视
3、图如图所示，则该几何体的表面积为（）A4+4B4+3C3+4D3+3参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是上半部分是直径为1的球，下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，由此能求出该几何体的表面积【解答】解：由三视图知该几何体是上半部分是直径为1的球，其表面积为S1=，下半部分是底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，其表面积为S2=4+3，该几何体的表面积S=S1+S2=4+4故选：A8. 已知几何体其三视图（如图），若图中圆半径为1，等腰三角形腰为3，则该几何体表面积为 （ ）A B C D参考答案：解析：几何体为一个圆锥和一个半球的组合体，且，故选C9.
4、已知函数，命题p：，若p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 参考答案：C【分析】为假命题，即不存在，使，根据这个条件得出实数的取值范围.【详解】解：因为为假命题，所以为真命题，即不存在，使，故，且解得：或，故选C.【点睛】本题考查了命题的否定，解题的关键是要将假命题转化为真命题，从而来解决问题.10. 已知等差数列中，记，S13=( )A78 B68 C56 D52参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c. D是BC边的中点，且，则ABC面积为 参考答案：12. 设函数若，则函数 的零点个数有 个
5、.参考答案：【知识点】根的存在性及根的个数判断B9 【答案解析】4 解析：函数f（x）=，f（4）=f（0），b=4，f（x）=，f（x）=与y=ln（x+2）的图象如图所示，函数y=f（x）ln（x+2）的零点个数有4个，故答案为：4【思路点拨】先求出b，再做出f（x）=与y=ln（x+2）的图象，即可得出结论13. 已知数列an中，则其前n项和Sn=参考答案：2n+24【考点】数列的求和【分析】数列an中，可得：a2=0，n2时，an=2an1+3n4，作差可得an+1an=2an2an1+3，化为an+1an+3=2（anan1+3），利用等比数列的通项公式可得anan1+3，利用“累加
6、求和”方法可得an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1再利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出【解答】解：数列an中，a2=0，n2时，an=2an1+3n4，an+1an=2an2an1+3，化为an+1an+3=2（anan1+3），a2a1+3=2数列anan1+3是等比数列，首项为2，公比为2anan1+3=2n，即anan1=2n3an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2n3+2n13+2231=3（n1）1=2n+13n2Sn=32n=2n+24故答案为：2n+2414. 设点O是ABC的外心，AB13，AC12，则 。参考答案：15. 已
7、知函数f（x）=，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是参考答案：（10，15）【考点】分段函数的应用【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨abc，根据f（a）=f（b）=f（c），可得lga=lgb=c+3（0，1），即可求出abc的范围【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设abc，则f（a）=f（b）=f（c），lga=lgb=c+3（0，1）ab=1，c（10，15），abc=c（10，15）故答案为：（10，15）16. 已知函数的导函数为,且满足,则= 参考答案：1617. 函数f（x）= 且对于方程f（x）2af（
8、x）+a23=0有7个实数根，则实数a的取值范围是参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】若方程f（x）2af（x）+a23=0有7个实数根，则方程t2at+a23=0有两个实数根，一个在区间（0，1上，一个在区间（1，2）上，解得答案【解答】解：函数f（x）= 的图象如下图所示：由图可得：当t（，0）时，方程f（x）=t有一个根，当t=0时，方程f（x）=t有两个根，当t（0，1时，方程f（x）=t有三个根，当t（1，2）时，方程f（x）=t有四个根，当t（2，+）时，方程f（x）=t有两个根，若方程f（x）2af（x）+a23=0有7个实数根，则方程t2at+a23=0有两个实数
9、根，一个在区间（0，1上，一个在区间（1，2）上，令g（t）=t2at+a23，解得：故答案为：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点（1）已知，求的值；（2）求的最小值参考答案：解法一：（）设点，则，由得：，化简得（）（1）设直线的方程为：设，又，联立方程组，消去得：，由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：（）（1）由已知，得则：过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：由得：，即
10、（）（2）解：由解法一，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为略19. 已知函数，.（1）设. 若函数在处的切线过点，求的值； 当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；（2）设函数，且，求证：当时，.参考答案：（1）由题意，得，所以函数在处的切线斜率， 2分又，所以函数在处的切线方程，将点代入，得. 4分（2）方法一：当，可得，因为，所以，当时，函数在上单调递增，而，所以只需，解得，从而. 6分当时，由，解得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以函数在上有最小值为，令，解得，所以. 综上所述，. 10分方法二：当， 当时，显然不成立；当且时，令，则，当时，函数单调递减，时，函数单调递减，当时，函
11、数单调递增，又，由题意知. （3）由题意，而等价于， 令， 12分则，且，令，则，因， 所以， 14分所以导数在上单调递增，于是，从而函数在上单调递增，即. 16分20. 为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)社团相关人数抽取人数模拟联合国24a街舞183动漫b4话剧12c(1)求a，b，c的值；(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.参考答案：解：(1)由表可知抽取比例为，故a4，b24，c
12、2. 4分(2)设“动漫”4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”2人分别为：B1，B2.则从中任选2人的所有基本事件为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)， (A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)， (B1，B2)共15个， 8分其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)共8个， 11分所以这2人分别来自这两个社团的概率P. 12分21. 食品
