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1、湖南省益阳市黄沙坪中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等比数列an满足，且，则当时，( )A(n1)2 B(n+1)2 Cn (2n1) Dn2参考答案：D2. （5分）复数的的共轭复数是（） A B C i D i参考答案：D【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 计算题【分析】： 复数的分母实数化，化简为a+bi的形式，然后求出它的共轭复数即可解：复数=i所以复数的的共轭复数是：i故选D【点评】： 本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力3. 关于x的
2、不等式的解集为R的充要条件是Am0 Bm2 Cm0 Dm2参考答案：答案:A 4. 如图，长方体中，.设长方体的截面四边形的内切圆为O，圆O的正视图是椭圆，则椭圆的离心率等于A. B. C. D. 参考答案：B 【知识点】椭圆的性质H5由题意得椭圆内切与边长为2，的矩形，易知椭圆的长轴长为2，短轴长为，所以a=1，c=，故，故选B。【思路点拨】由题意得椭圆内切与边长为2，的矩形，易知椭圆的长轴长为2，短轴长为，所以a=1，c=，故。5. “”是“直线与圆相切”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A6. “”是数列“为递增数列”的 （ ） A充分不必要
3、条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A略7. 已知函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+）上单调，若数列an是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则an的前25项之和为（）A0BC25D50参考答案：C【考点】数列与函数的综合【分析】由函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，平移可得y=f（x）的图象关于x=1对称，由题意可得a6+a20=2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称，且函数f（x）在（1，+）上单调，可得y=f（x）的图象关于x=1对称，由数列an
4、是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），可得a6+a20=2，又an是等差数列，所以a1+a25=a6+a20=2，可得数列的前25项和，所以数列的前25项和为25故选：C8. 已知如图所示的程序框图，设当箭头a指向时，输出的结果sm，当箭头指向时，输出的结果sn，则mn=A.14 B.18 C.28 D.36参考答案：B9. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A1 B C D 参考答案：C10. 若函数在上是增函数，当取最大值时，的值等于（ ）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】根据辅助角公式化简成正弦型函数，再由单调性得解.【详解】，由于在上是增函数
5、，所以，的最大值为，则.故选B.【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式和正弦型函数的单调性，属于基础题.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数_.参考答案：3略12. 方程的实数解的个数为_ 参考答案：13. 椭圆的离心率是，则的最小值为_.参考答案：【分析】椭圆的离心率是，从而得出的关系，通过减元对进行化简，利用基本不等式求解出最小值.【详解】解：因为椭圆的离心率是，所以，即，因为，所以，所以得到，故，当且仅当，即时，取得最小值，故本题答案是.14. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是 .参考答案：当时，函数，且单调递增。所以由可得或者，即或，所以或，即或，所以，
6、即满足不等式的的取值范围是。15. 对于实数，当时，规定，则不等式的解集为 .参考答案：16. 在等差数列an中，Sn为数列an的前n项和，d为数列an的公差，若对任意nN*，都有Sn0，且a2a4=9，则d的取值范围为参考答案：【考点】等差数列的通项公式【分析】对任意nN*，都有Sn0，可得：a10，d0由于a2a4=9，化为3d2+4a1d+9=0，0，而且两根之和=4d0，而必须至少有一个正实数根可得3d290，d0，解出即可得出【解答】解：对任意nN*，都有Sn0，a10，d0a2a4=9，（a1+d）（a1+3d）=9，化为+4a1d+3d29=0，=16d24（3d29）=4d2+
7、360，方程有两个不相等的实数根，并且两根之和为4d0，而必须至少有一个正实数根d=时，a1=0，舍去则d的取值范围为故答案为：17. 抛物线关于直线对称的抛物线方程是 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在极坐标系中，已知曲线C1：和曲线C2：，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（2）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值.参考答案：(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).【分析】（1）极坐标方程化为直角坐标
8、方程可得的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.（2）由几何关系可得直线的参数方程为（为参数），据此可得，结合均值不等式的结论可得当且仅当时，线段长度取得最小值为.【详解】（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，整理可得直角坐标方程为，的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.（2）设曲线与轴异于原点的交点为，过点，设直线的参数方程为（为参数），代入可得，解得或，可知，代入可得，解得，可知，所以，当且仅当时取等号，所以线段长度的最小值为.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方
9、面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.19. 正的边长为4，是边上的高，分别是 和边的中点，现将沿翻折成直二面角 （）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （）求二面角的余弦值；Ks5u （）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论.参考答案：解：法一：（I）如图：在ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF/AB，又AB平面DEF，EF平面DEF. AB平面DEF. （II）ADCD，BDCD ADB是二面角ACDB的平面角ADBD AD平面BCD取CD的中点M，这时EMAD EM平面BCD 过M作MNDF于点N，连结
10、EN，则ENDF MNE是二面角EDFC的平面角6分在RtEMN中，EM=1，MN=tanMNE=，cosMNE= 8分（）在线段BC上存在点P，使APDE10分证明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQCD与点Q，PQ平面ACD 在等边ADE中，DAQ=30AQDEAPDE13分法二：（）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，4分平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则即所以二面角EDFC的余弦值为8分（）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设12分所以在线段BC上存在点P，使APDE 13分另解：设又 12分把所
11、以在线段BC上存在点P使APDE .14分 20. 已知函数f（x）=kx，g（x）=（）求函数g（x）=的单调区间；（）若不等式f（x）g（x）在区间（0，+）上恒成立，求实数k的取值范围参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）由g（x）=，知，由此能求出函数的单调区间（）由，知k，令，知，由此能求出实数k的取值范围【解答】（本题满分12分）解：（）g（x）=，x0，故其定义域为（0，+），令g（x）0，得0xe，令g（x）0，得xe，故函数的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+）（），k，令，又，令h（x）=0，解得，当x在（0，+）
12、内变化时，h（x），h（x）变化如下表xh（x）+0h（x）由表知，当时函数h（x）有最大值，且最大值为，所以21. 已知函数（）当x（0，1）时，求f（x）的单调性；（）若h（x）=（x2x）?f（x），且方程h（x）=m有两个不相等的实数根x1，x2求证：x1+x21参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）先求导，再构造函数，根据导数和函数的单调性的关系即可判断f（x）在（0，1）上的单调性，（）先求导，设h（x0）=0，则x0（0，1），则h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，由（）知，即可证明x1+x21【解答】解：（），设g（x）=x1lnx，则，当x（0，1）时，g（x）0，g（x）g（1）=0，f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递增 （）h（x）=x2lnxax2+ax（a0），h（x）=2xlnx+x2ax+a，h（x）=2lnx2a+3，h（x）在（0，+）上单调递增，当x0时，h（x）0，h（1）=32a0，必存在（0，1），使得h（x）=0，即2ln2a+3=0，h（x）在（0，）上单调递减
