北京劲松第四中学高二数学文期末试题含解析

北京劲松第四中学高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在对吸烟与患肺癌这两个因素的研究计算中，下列说法中正确的是（　　） A．若统计量X2＞6.64，我们有99%的把握说吸烟与患肺癌有关，则某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 B．若从统计中得出，有99%的把握说吸烟与患肺癌有关，则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病 C．若从统计量中得出，有99%的把握说吸烟与患肺癌有关，是指有1%的可能性使得推断错误 D．以上说法均不正确 参考答案： D 【考点】独立性检验． 【分析】若Χ2＞6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，不表示有99%的可能患有肺病，也不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，不表示有1%的可能性使得推断出现错误，故可得结论． 【解答】解：若Χ2＞6.64，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，不表示有99%的可能患有肺病，故A不正确． 若从统计中得出，有99%的把握说吸烟与患肺癌有关，不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故B不正确． 若从统计量中求出有99%的把握说吸烟与患肺癌有关，是指有1%的可能性使得推断出现错误，故C不正确． 故以上三种说法都不正确． 故选D． 2. 双曲线的渐近线与圆相切， 则r=（        ） （A）    （B）2       （C）3    （D）6 参考答案： A 3. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B=“抽到二等品”，事件C=“抽到三等品”，且已知 P（A）=0.65,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。则事件“抽到的不是一等品”的概率为（    ）                                                  A.0.65    B.0.35     C.0.3  D.0.005   参考答案： B 略 4. 在△ABC中A(－4,0),B(4,0)，△ABC的周长是18，则定点C的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D ∵，， ∴， 又∵的周长为， ∴， ∴顶点的轨迹是一个以、为焦点的椭圆． 则，，， ∴顶点的轨迹方程为． 故选． 5. 设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为（　　） A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1=k2 D．不确定 参考答案： A 【考点】62：导数的几何意义． 【分析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小． 【解答】解：当自变量从0到0+△x时，k1==， 当自变量从到+△x时，k2== 当△x＞0时，k1＞0，k2＜0即k1＞k2； 当△x＜0时，k1﹣k2=﹣= ∵△x＜0，△x﹣＜﹣，sin（△x﹣）＜﹣， sin（△x﹣）+1＜0， ∴k1＞k2 综上所述，k1＞k2． 故选A． 6. 鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为（  ） A．         B．       C.          D． 参考答案： B 鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，共有9种取法， 恰好成双的取法共有3种， 故恰好成双的概率为 故选：B   7. 对于以下说法： ①命题“,使”的否定是“ ”； ②动点到点及点的距离之差为定值，则点的轨迹是双曲线； ③三棱锥中，若点P满足则点P在平面ABC内.     其中正确的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 参考答案： C 8. 将3个半径为1的球和一个半径为的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（    ）     A.     B.     C.     D. 参考答案： A 9. 已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量，则（  ） A. 0.09 B. 9 C. 1 D. 0.9 参考答案： D 【分析】 在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量，则随机变量，利用方差的公式，即可求解． 【详解】由题意，在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量，则随机变量， 所以，故选D． 【点睛】本题主要考查了二项分布的方差的计算，其中解答根据题意得到在10次独立射击中命中目标的次数服从二项分布是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 10. 在极坐标系中，过点A（2，）且垂直极轴的直线的极坐标方程为 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，数列{an}满足a1=f（1），且an+1=f（an）（n∈N+），则a2015=　　． 参考答案： 【考点】数列与函数的综合． 【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列． 【分析】求得a1，再取倒数，可得=+1，结合等差数列的定义和通项公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：由， 可得a1=f（1）=， 由an+1=f（an），可得an+1=， 取倒数，可得=+1， 即有{}为首项为2，公差为1的等差数列， 即有=2+2015﹣1=2016， 可得a2015=． 故答案为：． 【点评】本题考查数列的通项的求法，注意运用取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于中档题． 12. 已知椭圆的焦点分别为，若该椭圆上存在一点使得，则椭圆离心率的取值范围是            。 参考答案： 略 13. 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图1所示，由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_________. (结果用数值表示) n=1        n=2        n=3        n=4     参考答案：    21,43    14. 若函数在处取得最小值，则 _________________________ 参考答案： 略 15. 若函数的定义域是则函数的定义域是      参考答案： 略 16. 若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________． 参考答案： 略 17. 已知函数是定义在R上的奇函数,,,则不等式的解集是         .   参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A1C1D1． （1）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求点D到平面A1BC1的距离d． 参考答案： 【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LM：异面直线及其所成的角． 【分析】（1）建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出．利用空间向量的连结求解异面直线BO1与A1D1所成的角． （2）求出平面ABD的法向量．通过空间向量的距离公式求解即可． 【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分，第2小题满分．（理科） 解：（1）按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点D（0，0，0）、B（2，2，0）、D1（0，0，3）、A1（2，0，3）、C1（0，2，3）．　　　　　  由O1是A1C1中点，可得O1（1，1，3）． 于是，． 设异面直线BO1与A1D1所成的角为θ，则 ． 因此，异面直线BO1与A1D1所成的角为． （2）设是平面ABD的法向量． ∴ 又， ∴取z=2，可得即平面BA1C1的一个法向量是． ∴=． 19. 已知函数f（x）＝xex﹣ax2﹣x； （1）若f（x）在x＝﹣1处取得极值，求a的值及f（x）的单调区间； （2）当x＞1时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围． 参考答案： （1）见解析（2）a≤e﹣1 【分析】 （1）求出f′（x），得到f′（﹣1）＝0，解出即可；（2）当x＞1时，f（x）＞0，转化为a，设g（x），（x＞1），则利用导数求出g（x）的最小值，即可求得a的取值范围． 【详解】1）f′（x）＝（x+1）ex﹣2ax﹣1， 若f（x）在x＝﹣1处取得极值，则f′（﹣1）＝2a﹣1＝0， 解得：a， 故f（x）＝xexx2﹣x，f′（x）＝（x+1）ex﹣x﹣1= ， 令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣1， 令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0， ∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增； 故单调增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；减区间为（﹣1，0） （2）x＞1时，f（x）＝xex﹣ax2﹣x＞0，即a， 设g（x），（x＞1） ∴g′（x）0， ∴g（x）在（1，+∞）递增， g（x）＞g（1）＝e﹣1， ∴a≤e﹣1． 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查了函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法解决，转化成求函数的最值问题，涉及了利用导数求函数的最值，属于中档题． 20. （本小题满分10分）某公司在统计2012年的经营状况时发现，若不考虑其他因素，该公司每月获得的利润（万元）与月份之间满足函数关系式： （Ⅰ）求该公司5月份获得的利润为多少万元？ （Ⅱ）2012年该公司哪个月的月利润最大？最大值是多少万元？ 参考答案： （Ⅰ）根据题意知，当时，所以该公司5月份获得的利润为88万元. （Ⅱ）因为，单调递增，当时，； ，单调递减，当时，，所以2012年该公司7月份的月利润最大，最大值为102万. 21. 如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3． （1）求棱锥C﹣ADE的体积； （2）在线段DE上是否存在一点P，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与平面平行的判定． 【分析】（1）在Rt△ADE中，AE=，可得S△ADE=AE?DE．由于CD⊥平面ADE，可得VC﹣ADE=CD?S△ADE． （2）在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE， =，设F为线段DE上的一点，过F作FM∥CD交CE于点M，由线面垂直的性质可得：CD∥AB．可得四边形ABMF是平行四边形，于是AF∥BM，即可证明AF∥平面BCE 【解答】解：（1）在Rt△ADE中，AE==3， ∴S△ADE=AE?DE=×3×3=， ∵CD⊥平面ADE，∴VC﹣ADE=CD?S△ADE=×6×=9， 在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE， =， 下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且=， 过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=， ∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE， ∴CD∥AB．又CD=3AB， ∴MF∥AB，MF=AB， ∴四边形ABMF是平行四边形， ∴AF∥BM，又AF?平面BCE，BM?平面BCE． ∴AF∥平面BCE． 22. (本小题13分)已知椭圆 (