河北省邢台市孔桥中学高三数学文下学期期末试题含解析

河北省邢台市孔桥中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递减. 若实数a满足, 则a的取值范围是（　　） A．（-∞，]∪[2,+∞）  B．∪[2,+∞ ）   C．        D． 参考答案： B 略 2. 曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A, △OAB (O是原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为                               （   ） A．30°  B．45°          C．60°            D．120° 参考答案： C 3. 已知双曲线 （a>0 , b>0 ）的一条渐近线方程是，且双曲线与抛物线有共同的一个焦点，则双曲线的方程是（    ） （A）     （B）     （C）     （D） 参考答案： B 略 4. 已知向量,且，则向量与的夹角为（     ） A．         B．             C．             D． 参考答案： 【知识点】向量的定义F1 B解析：由得，故，选B． 【思路点拨】由，可得. 6.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A.60种  B.63种  C.65种   D.66种 参考答案： C 6. 参数方程为表示的曲线是（    ） A．一条直线   B．两条直线   C．一条射线   D．两条射线 参考答案： D 7. 在正方形中，沿对角线将正方形折成一个直二面角，则点到直线的距离为（        ） （A）           （B）           （C）        （D） 参考答案： C 略 8. 在如图所示的框图中，若输出，那么判断框中应填入的关于的判断条件是 A．    B． C．    D． 参考答案： D 当时不满足退出循环的条件，执行循环体后，； 当时不满足退出循环的条件，执行循环体后，； 当时不满足退出循环的条件，执行循环体后，； 当时不满足退出循环的条件，执行循环体后，； 当时满足退出循环的条件， 故判断框中应填入的关于的判断条件是，故选D.   9. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（　　） A． B． C． D．   参考答案： D 考点: 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题:三角函数的图像与性质． 分析: 根据三角函数的图象变换关系进行求解即可． 解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（）， 由=+kπ， 即+2kπ，k∈Z， ∴当k=0时，函数的对称轴为， 故选：D． 点评:本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键．   10. 如图，在矩形ABCD中，，，两个圆的半径都是1，且圆心，均在对方的圆周上，在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 参考答案： D 如图所示，分别连接， 则分别为边长为的等边三角形，所以其面积分别为， 其中拱形的面积为， 所以阴影部分的面积为， 所以概率为，故选D．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等差数列{an}前n项和为Sn. 若m>1, m∈N且 , 则m等于____________. 参考答案： 10 12. 已知，则          ． 参考答案： 13.  函数y＝＋2单调递减区间为________． 参考答案： 14. 如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午10：00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10：10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为　　千米/时． 参考答案： 【考点】解三角形的实际应用． 【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形． 【分析】在Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=20°+40°=60°，利用余弦定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度． 【解答】解：在Rt△PAB中，∠APB=30°，PA=，∴AB=1． 在Rt△PAC中，∠APC=60°， ∴AC=3． 在△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°， ∴BC==． 则船的航行速度÷=． 故答案为：． 【点评】本题主要考查考生运用数学知识解决实际问题的能力，考查学生的计算能力，比较基础． 15. 函数的图象如图所示，则 的值为    ．   参考答案： 16. 设函数的定义域为，若对于给定的正数k, 定义函数 则当函数时，定积分的值为           参考答案： 略 17. 已知p>0，q>0，p、q的等差中项为的最小值为            . 参考答案： 5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点， （I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列； （Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率． 参考答案： 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】（I）求得椭圆的a，b，c，设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|PQ|，再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差数列的中项的性质，可得结论； （Ⅱ）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由等比数列的中项的性质，结合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到直线PQ的斜率． 【解答】解：（I）证明：x2+3y2=6即为+=1， 即有a=，b=，c==2， 由直线PQ过椭圆C的右焦点F2（2，0），且倾斜角为30°， 可得直线PQ的方程为y=（x﹣2）， 代入椭圆方程可得，x2﹣2x﹣1=0， 即有x1+x2=2，x1x2=﹣1， 由弦长公式可得|PQ|=? =?=， 由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4， 可得|F1P|+|QF1|=4﹣==2|PQ|， 则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列； （Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6， 消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0， 则△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2） =12（6k2﹣m2+2）＞0， x1+x2=﹣，x1x2=， 故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2， ∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列， ∴?==k2， 即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣+m2=0， 由于m≠0，故k2=， ∴直线PQ的斜率k为±． 19. 已知函数. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 参考答案： (1)；(2) 最小值0；最大值 【分析】 （1）对函数进行三角恒等变换得，即可得最小正周期； （2）整体考虑的取值范围，求出最大值和最小值. 【详解】解: (1) f(x)的最小正周期T =； (2)因为,所以 所以当,即时,f(x)取得最小值； 当,即时,f(x)取得最大值， 所以f(x)在区间上的最小值0；最大值. 【点睛】此题考查利用三角恒等变换对函数进行化简，求最小正周期和闭区间上的值域，关键在于利用公式准确化简，正确求值. 20. 生蚝即牡蛎（oyster），是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示. 质量（g） [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) 数量 6 10 12 8 4 （Ⅰ）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）； （Ⅱ）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望. 参考答案： （Ⅰ）由表中数据可以估计每只生蚝的质量为 ， ∴购进，生蚝的数量约有（只）. （Ⅱ）由表中数据知，任意挑选一个，质量在间的概率， 的可能取值为0，1，2，3，4，则， ，， ，， ∴的分布列为 0 1 2 3 4 ∴或.   21. (本小题满分13分)如图①，已知ABC是边长为l的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图②所示的三棱锥A-BCF，其中BC=． (I)证明：DE//平面BCF； (II)证明：CF平面ABF； (III)当AD=时，求三棱锥F-DEG的体积 参考答案： （Ⅰ）在等边三角形中,  ……………………………….1 在折叠后的三棱锥中 也成立, …………………………………..2 平面, 平面,平面……………………………..4 （Ⅱ）在等边三角形中,是的中点,所以,…………5 在三棱锥中,, …………7     ………………………………………………9 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知，结合（Ⅱ）可得． ………..13 22. 如图，在四边形 中，,平分,，,的面积为，为锐角. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求 . 参考答案： (Ⅰ)在中， .                   …………2分 因为 ，所以. 因为为锐角，所以.                     …………4分 在 中，由余弦定理得                                                               所以CD的长为.                                          …………6分 (Ⅱ)在中，由正弦定理得 即 ，解得 …………8分 , 也为锐角. .                                      …………9分 在 中，由正弦定理得 即      ① 在 中，由正弦定理得 即      ② …………11分 平分 ， 由①②得 ，解得 因为为锐角，所以 .                  …………12分