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河北省秦皇岛市陈官屯乡中学2022年高三数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个关于轴对称的图象,则的一个可能取值为
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】函数的图象与性质C4
【答案解析】C 函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到:f(x)=sin(2x++φ)由于函数图象关于y轴对称,所以+φ=kπ+(k∈Z)当k=0时,φ=故选:C
【思路点拨】首先对函数进行平移变换,再利用对称性求解.
3. 函数y=xln(-x)与y=xlnx的图象关于( )
A.直线y=x对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.原点对称
参考答案:
D
4. 为了得到函数的图象,只需把函数的图像上所有的点( )
(A)向左平移个单位
(B)向左平移个单位
(C)向右平移个单位
(D)向右平移个单位
参考答案:
C
5. 已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,则该双曲线离心率等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】圆与圆锥曲线的综合.
【分析】先将圆的方程化为标准方程,再根据双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,利用圆心到直线的距离等于半径,可建立几何量之间的关系,从而可求双曲线离心率.
【解答】解:双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±,即bx±ay=0
圆C:x2+y2﹣6x+5=0化为标准方程(x﹣3)2+y2=4
∴C(3,0),半径为2
∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切
∴
∴9b2=4b2+4a2
∴5b2=4a2
∵b2=c2﹣a2
∴5(c2﹣a2)=4a2
∴9a2=5c2
∴=
∴双曲线离心率等于
故选:D.
6. 已知A,B,C,D是函数一个周期内的图象上的四个点,如图所示,B为轴上的点,C为图像上的最低点,E为该函数图像的一个对称中心,B与D关于点E对称,在轴上的投影为,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 如右图,三棱柱的侧棱长和底边长均为2,且侧棱 底面
,正视图是边长为2的正方形,俯视图为一个等边三角形,则
该三棱柱的侧视图的面积为
A. B. C 4 D.
参考答案:
B
略
8. 执行如图所示的程序框图,则输出的( )
A. B. C. D.1
参考答案:
C
9. 已知圆的圆心是直线与轴的交点,
且圆与直线 相切,则圆的方程是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
10. 设满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知均为大于0的实数,给出下列五个论断:①,②,③,④,⑤.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.
参考答案:
①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)
【分析】
选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可,答案不唯一.
【详解】已知均为大于0的实数,选择①③推出⑤.
①,③,
则,
所以.
故答案为:①③推出⑤
【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小,在已知条件中选择两个条件推出第三个条件,属于开放性试题,对思维能力要求比较高.
12. 若函数在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数在上是增函数,则a=____.
参考答案:
13. 在等比数列中,,公比,若前项和,则的值为 .
参考答案:
7
略
14. 过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A,B,两点,交准线于点C若,则直线AB的斜率为________________
参考答案:
15. 已知函数,若存在,当时,,则的最小值为 .
参考答案:
作出函数图象如下图:
令得 ,因为存在,当时,,所以由图象知,又,令
故当时,,故填.
16. 给出以下四个命题,其中所有正确命题的序号为: .
已知等差数列的前项和为,,为不共线向量,又,若、、三点共线,则;“”是“函数的最小正周期为4”的充要条件;设函数的最大值为,最小值为,则;已知函数,若,且,则动点到直线的距离的最小值为1.
参考答案:
略
17. 如图为一个几何体的三视图,其中俯视为正三角形,AB=2,AA=4,则该几何体的表面积为_______。
参考答案:
由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱,底面边长为2,高是4.所以该三棱柱的表面积为。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、;两人租车时间都不会超过四小时.
(Ⅰ)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率.
参考答案:
本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算,考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力.
解:(Ⅰ)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B,则
,.
答:甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、.
(Ⅱ)记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C,则
.
答:甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为
19. 数列的各项都是正数,前项和为,且对任意,都有.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求数列的通项公式.
参考答案:
证明:(I)在已知式中,当时, 因为,所以,
所以,解得
(Ⅱ) 当时, ①
②
当时, ①
②
①-②得,
因为 所以,
即 因为适合上式
所以(n∈N+)
(Ⅲ)由(I)知 ③
当时, ④
③-④得-
因为 ,所以
所以数列是等差数列,首项为1,公差为1,可得
略
20. 若数列{an}的前n项和为Sn,首项,且
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若,令,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1)或;(2).
【分析】
(1)令,根据,由,求出,当
由可求数列的通项公式;
(2)由,可得,利用裂项相消法可求数列的前项和.
【详解】(1)且
,
,
,
,
(2)由
,
,
【点睛】本题考查数列的求和,着重考查等差关系的确定与裂项法求和,考查分类讨论思想与推理运算及证明能力,属于中档题.
21. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程;
(2) 当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1) 所以切点为
所以所求切线方程为…………4分
由,…………6分
(i) 当时,,
当时,,函数在上单调递减,
故成立. …………8分
(ii) 当时,由,因,所以,
① 若,即时,在区间上,,
则函数在上单调递增,在上无最大值,当时,,此时不满足条件;
(iii) 当时,由,∵,∴,
∴,故函数在上单调递减,故成立.
综上所述,实数a的取值范围是. ……12分
22. (12分)(2013?南开区一模)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率等于.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若=λ1,=λ2,求证:λ1+λ2为定值.
参考答案:
【考点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.
【专题】综合题;压轴题.
【分析】(1)根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率等于.易求出a,b的值,得到椭圆C的方程.
(2)设A、B、M点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l的斜率为k,则直线l的方程是y=k(x﹣2),然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”,结合已知中,,求出λ1+λ2值,即可得到结论.
【解答】解:(1)设椭圆C的方程为,则由题意知b=1.…(2分)∴.∴a2=5.…(4分)
∴椭圆C的方程为 .…
(2)设A、B、M点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0).
又易知F点的坐标为(2,0).…(6分)
显然直线l存在的斜率,设直线l的斜率为k,则直线l的方程是y=k(x﹣2).…(7分)
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中,消去y并整理得(1+5k2)x2﹣20k2x+20k2﹣5=0.…(8分)∴.…(9分)
又∵.(11分)∴.…(12分)
【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的综合问题,其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键.
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