湖南省株洲市王十万第二中学高三数学理期末试题含解析

湖南省株洲市王十万第二中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数若关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是(     ) A．（2，+∞） B．[2，+∞） C． D． 参考答案： D 考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：函数的性质及应用． 分析：方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）等于某个常数k，有2个不同的k，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有满足条件的k在开区间（0，4]时符合题意．再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案． 解答： 解：∵函数， 作出f（x）的简图，如图所示： 由图象可得当f（x）在（0，4]上任意取一个值时，都有四个不同的x与f（x）的值对应． 再结合题中函数y=f2（x）﹣bf（x）+1 有8个不同的零点， 可得关于k的方程 k2 ﹣bk+1=0有两个不同的实数根k1、k2，且0＜k1≤4，0＜k2≤4． ∴应有 ，解得 2＜b≤， 故选：D． 点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题． 2. 设集合，，，则 等于 A．            B．            C．     D． 参考答案： B 略 3. 已知集合P={x|x﹣1≤0}，M={x|x+2＞0}，则P∩M=（　　） A．（﹣∞，1] B．[﹣2，+∞） C．[1，2） D．（﹣2，1] 参考答案： D 【考点】交集及其运算． 【分析】化简集合P，M，根据交集的定义进行计算即可 【解答】解：集合P={x|x﹣1≤0}=（﹣∞，1]，M={x|x+2＞0}=（﹣2，+∞）， 则P∩M=（﹣2，1]， 故选：D 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目． 4. 没函数在(0，+)内有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数，恒有，则   A．K的最大值为    B．K的最小值为   C．K的最大值为2    D．K的最小值为2 参考答案： B 略 5. ，，则的值为                 （     ） A．         B．          C．      D．  参考答案： D 6. 已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为 的前项和，，则的值为          A．-110  　　                                                          B．-90 　　                        C．90  　                                                                        D．110 参考答案： D ：本题考查了等差数列与等比数列以及等差数列的前n项和公式，难度一般。因为是与的等比中项，所以，解得 所以，故选D。 7. 某人冬天外出时在两只手上都戴上双层手套，其中内层的两只手套不分左右，即2只内层手套看成一样的，但外层的两只手套分左右，即外层手套不能反着戴，那么不同的戴 手套的顺序有 A．4种          B．6种           C．8种             D．16种 参考答案： B 8. 过双曲线的左焦点F作⊙O: 的两条切线，记切点为A,B,双曲线左顶点为C，若,则双曲线的渐近线方程为（    ）     (A)     (B)  (C)       (D)  参考答案： A 9. 已知函数的图象关于直线对称，则可能是         （  ） A.        B.        C.        D. 参考答案： C 略 10. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（  ） A． B． C． D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数在上恒为正，则实数的取值范围是       ． 参考答案： 略 12. 实数x，y，k满足，z=x2+y2，若z的最大值为13，则k的值为          ． 参考答案： 2 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可． 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图；则k＞1， 则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方， 由图象知，O到A的距离最大， ∵z=x2+y2的最大值为13， ∴O到A的距离最大为d=， 由，即， 即A（k，k+1）， 则OA==， 即2k2+2k+1=13， 即k2+k﹣6=0，解得k=2或k=﹣3（舍）， 故k=2， 故答案为：2 点评：本题主要考查线性规划以及点到直线的距离的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 13. .曲线与直线和所围成的平面图形的面积为_________. 参考答案： 略 14. 两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为________． 参考答案： 略 15. 设，则______. 参考答案： 16. 如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成． 若对?x∈R，都有f（x）≥f（x﹣12asinφ），其中a＞0，0＜φ＜，则φ的最小值为　　． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】由题意得到x＞x﹣12asinφ，再由对?x∈R，都有f（x）≥f（x﹣12asinφ），可得x﹣（x﹣12asinφ）≥4a﹣（﹣2a）=6a，即sinφ，由此求得φ的最小值． 【解答】解：∵0＜φ＜， ∴sinφ∈（0，1）， 又a＞0，则﹣12asinφ∈（﹣12a，0）， ∴x＞x﹣12asinφ， ∵对?x∈R，都有f（x）≥f（x﹣12asinφ）， ∴x﹣（x﹣12asinφ）≥4a﹣（﹣2a）=6a， 即sinφ， ∴φ． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，关键是对题意的理解，是中档题． 17. 定义域为实数集的函数,若对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”，现给出如下函数： ①②③④ 其中为“函数”的有（  ） A.①②   B.③④   C.②③    D.①②③ 参考答案： C 试题分析：解：对于任意给定的不等实数，不等式恒成立 不等式等价由为恒成立 即函数是定义在上的增函数 ①函数在定义域上不单调，不满足条件 ②为增函数，满足条件 ③，，函数单调递增，满足条件 ④，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，不满足条件， 综上满足“函数”的函数为②③，故答案为C. 考点：函数单调性的应用. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在中，是三角形的三内角，是三  内角对应的三边，已知． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求角的大小． 参考答案： 解：（Ⅰ）由余弦定理知道                          ∵，角A为三角形内角               ∴                ∴A=60°      （Ⅱ）∵                         ∴            ∴是直角三角形，            由（Ⅰ）知A=60°            ∴B=30° 略 19. （本小题满分13分）已知各项均为正数的数列前项的和为，数列的前项的和为，且． (I)求、的值； (II)证明数列是等比数列，并写出通项公式； (III)若对恒成立，求的最小值； 参考答案： 解．（I）当时，由，解得， 当时，由，解得；………2分 (II)由，知，两式相减得 ，即， 亦即，从而，再次相减得，…6分 又，所以，所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 其通项公式为．………………………………………7分 （III）由（II）可得，，……9分 若对恒成立，只需对恒成立， 因为对恒成立，所以,即的最小值为3；…………13分 略 20. （本题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）……第五组[17，18]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 （1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； （2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n ，求事件“|m－n|>1”的概率； 参考答案： 略 21. 已知数列的通项公式为，其前项和为. (I) 若，求的值； (Ⅱ) 若且，求的取值范围. 参考答案： 略 22. （本小题满分12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：w_w*w.k_s_5 u.c*o*m . k#s5_u.c （Ⅰ）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ （Ⅱ）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.w_w*w 参考答案： 【解】：在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人。 故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取人.   ……4分 （2）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为，若从5人中任取2名观众记作，……6分 则包含的总的基本事件有：共10个。…8分 其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：共6个. ……10分 故(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=；            ……12分   略