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湖南省株洲市王十万第二中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数若关于x的函数y=f2(x)﹣bf(x)+1有8个不同的零点,则实数b的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞) C. D.
参考答案:
D
考点:根的存在性及根的个数判断.
专题:函数的性质及应用.
分析:方程f2(x)﹣bf(x)+1=0有8个不同实数解,即要求对应于f(x)等于某个常数k,有2个不同的k,再根据函数对应法则,每一个常数可以找到4个x与之对应,就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f(x)的简图:由图可知,只有满足条件的k在开区间(0,4]时符合题意.再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案.
解答: 解:∵函数,
作出f(x)的简图,如图所示:
由图象可得当f(x)在(0,4]上任意取一个值时,都有四个不同的x与f(x)的值对应.
再结合题中函数y=f2(x)﹣bf(x)+1 有8个不同的零点,
可得关于k的方程 k2 ﹣bk+1=0有两个不同的实数根k1、k2,且0<k1≤4,0<k2≤4.
∴应有 ,解得 2<b≤,
故选:D.
点评:本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识,采用数形结合的方法解决,使本题变得易于理解.数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,属于中档题.
2. 设集合,,,则 等于
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 已知集合P={x|x﹣1≤0},M={x|x+2>0},则P∩M=( )
A.(﹣∞,1] B.[﹣2,+∞) C.[1,2) D.(﹣2,1]
参考答案:
D
【考点】交集及其运算.
【分析】化简集合P,M,根据交集的定义进行计算即可
【解答】解:集合P={x|x﹣1≤0}=(﹣∞,1],M={x|x+2>0}=(﹣2,+∞),
则P∩M=(﹣2,1],
故选:D
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.
4. 没函数在(0,+)内有定义,对于给定的正数K,定义函数,取函数,恒有,则
A.K的最大值为 B.K的最小值为
C.K的最大值为2 D.K的最小值为2
参考答案:
B
略
5. ,,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 已知为等差数列,其公差为-2,且是与的等比中项,为
的前项和,,则的值为
A.-110 B.-90
C.90 D.110
参考答案:
D
:本题考查了等差数列与等比数列以及等差数列的前n项和公式,难度一般。因为是与的等比中项,所以,解得
所以,故选D。
7. 某人冬天外出时在两只手上都戴上双层手套,其中内层的两只手套不分左右,即2只内层手套看成一样的,但外层的两只手套分左右,即外层手套不能反着戴,那么不同的戴 手套的顺序有
A.4种 B.6种 C.8种 D.16种
参考答案:
B
8. 过双曲线的左焦点F作⊙O: 的两条切线,记切点为A,B,双曲线左顶点为C,若,则双曲线的渐近线方程为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
9. 已知函数的图象关于直线对称,则可能是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
10. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数在上恒为正,则实数的取值范围是 .
参考答案:
略
12. 实数x,y,k满足,z=x2+y2,若z的最大值为13,则k的值为 .
参考答案:
2
考点:简单线性规划.
专题:不等式的解法及应用.
分析:作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义进行求解即可.
解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图;则k>1,
则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方,
由图象知,O到A的距离最大,
∵z=x2+y2的最大值为13,
∴O到A的距离最大为d=,
由,即,
即A(k,k+1),
则OA==,
即2k2+2k+1=13,
即k2+k﹣6=0,解得k=2或k=﹣3(舍),
故k=2,
故答案为:2
点评:本题主要考查线性规划以及点到直线的距离的应用,利用数形结合是解决本题的关键.
13. .曲线与直线和所围成的平面图形的面积为_________.
参考答案:
略
14. 两个等差数列的前n项和之比为,则它们的第7项之比为________.
参考答案:
略
15. 设,则______.
参考答案:
16. 如图所示,函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.
若对?x∈R,都有f(x)≥f(x﹣12asinφ),其中a>0,0<φ<,则φ的最小值为 .
参考答案:
【考点】函数恒成立问题.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由题意得到x>x﹣12asinφ,再由对?x∈R,都有f(x)≥f(x﹣12asinφ),可得x﹣(x﹣12asinφ)≥4a﹣(﹣2a)=6a,即sinφ,由此求得φ的最小值.
【解答】解:∵0<φ<,
∴sinφ∈(0,1),
又a>0,则﹣12asinφ∈(﹣12a,0),
∴x>x﹣12asinφ,
∵对?x∈R,都有f(x)≥f(x﹣12asinφ),
∴x﹣(x﹣12asinφ)≥4a﹣(﹣2a)=6a,
即sinφ,
∴φ.
故答案为:.
【点评】本题考查了函数恒成立问题,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,关键是对题意的理解,是中档题.
17. 定义域为实数集的函数,若对任意两个不相等的实数,都有,则称函数为“函数”,现给出如下函数:
①②③④
其中为“函数”的有( )
A.①② B.③④ C.②③ D.①②③
参考答案:
C
试题分析:解:对于任意给定的不等实数,不等式恒成立
不等式等价由为恒成立
即函数是定义在上的增函数
①函数在定义域上不单调,不满足条件
②为增函数,满足条件
③,,函数单调递增,满足条件
④,当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,不满足条件,
综上满足“函数”的函数为②③,故答案为C.
考点:函数单调性的应用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在中,是三角形的三内角,是三 内角对应的三边,已知.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求角的大小.
参考答案:
解:(Ⅰ)由余弦定理知道
∵,角A为三角形内角
∴
∴A=60°
(Ⅱ)∵
∴
∴是直角三角形,
由(Ⅰ)知A=60°
∴B=30°
略
19. (本小题满分13分)已知各项均为正数的数列前项的和为,数列的前项的和为,且.
(I)求、的值;
(II)证明数列是等比数列,并写出通项公式;
(III)若对恒成立,求的最小值;
参考答案:
解.(I)当时,由,解得,
当时,由,解得;………2分
(II)由,知,两式相减得
,即,
亦即,从而,再次相减得,…6分
又,所以,所以数列是首项为1,公比为的等比数列,
其通项公式为.………………………………………7分
(III)由(II)可得,,……9分
若对恒成立,只需对恒成立,
因为对恒成立,所以,即的最小值为3;…………13分
略
20. (本题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[13,14);第二组[14,15)……第五组[17,18],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图
(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数;
(2)设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知m,n ,求事件“|m-n|>1”的概率;
参考答案:
略
21. 已知数列的通项公式为,其前项和为.
(I) 若,求的值;
(Ⅱ) 若且,求的取值范围.
参考答案:
略
22. (本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
. k#s5_u.c
(Ⅰ)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?
(Ⅱ)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.w_w*w
参考答案:
【解】:在100名电视观众中,收看新闻的观众共有45人,其中20至40岁的观众有18人,大于40岁的观众共有27人。
故按分层抽样方法,在应在大于40岁的观众中中抽取人. ……4分
(2)抽取的5人中,年龄大于40岁的有3人,分别记作1,2,3;20岁至40岁的观众有2人,分别高为,若从5人中任取2名观众记作,……6分
则包含的总的基本事件有:共10个。…8分
其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有:共6个. ……10分
故(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=; ……12分
略
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