湖南省怀化市中都乡中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省怀化市中都乡中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知m，n，则 “a＝2”是“mn”的（    ） A．充要条件                 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件         D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 2. 若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 参考答案： D 由，得，得． 又，由余弦定理得， 得，故选D． 3. 设全集，集合，，则为 A．       B．       C.        D． 参考答案： C 4. 如下图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是                                                （     ） A．12             B．48             C．60             D．144 参考答案： D 5. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 (     )    A．若，，则       B．若，，则    C．，，则          D．若，，则 参考答案： B 略 6. 若，，, 则=           （     ）     A．2009         B．2010         C．2011      D．1   参考答案： C 略 7. 已知函数 ，若 是 的导函数，则函数 在原点附近的图象大致是（   ）            A                 B                C                D   参考答案： A 略 8. 设函数则的值为（    ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 参考答案： D 【分析】 根据分段函数表达式中x的范围，代入相应的表达式，得到相应的函数值. 【详解】函数, 因为， 故得到 故答案为：D. 【点睛】解决分段函数求值问题的策略 (1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。 (2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。 (3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。 9. 已知集合 ，则     A.     B.     C.     D. 参考答案： B 略 10. 已知复数满足，则（   ） A．0                B．1                   C． D．2 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线所得的弦长是__________. 参考答案： 2 12. 若数列的前项和为，不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为             . 参考答案： 考点：1.错位相减法求和；2.数列的函数特征. 【易错点睛】本题主要考察了错位相减法求和以及数列的最值问题，属于中档题型，对于错位相减法求和是一个易错点，方法就是多练，再有整理后转化为，，除了本题所给的方法外，也可以求函数的导数，根据导数判断函数的单调性，同样需要带特殊值得到函数的最大值. 13. 若函数的反函数为，则　　　　　． 参考答案： 14. 函数的反函数为，则                . 参考答案： 答案：   15. 为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为          ．（最后结果精确到整数位）   气温x 18 13 10 －1 用电量y 24 34 · 64   参考答案： 38 16. 将1，2，3，…，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第 张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是  ． 参考答案： 二； 17. 设表示不超过的最大整数，如，给出下列命题： （1）对任意的实数，都有； （2）若，则； （3）。   其中所有真命题的序号是           参考答案： （1）（2）（3） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，四边形是边长为的正方形． （1）求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 参考答案： （1）证明：在直三棱柱中，    平面，又平面，  所以．  因为，为中点， 所以．又， 所以平面． 又平面，所以． 因为四边形为正方形，，分别为，的中点， 所以△≌△，． 所以． 所以．又， 所以平面．                ……………………6 （2）解：如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系．  则．                     由（Ⅱ）知平面，所以为平面的一个法向量． 设为平面的一个法向量， ，． 由可得 令，则． 所以．从而． 因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为．……………………12   19. 已知AB和CD是曲线C：（t为参数）的两条相交于点P（2，2）的弦，若AB⊥CD，且|PA|?|PB|=|PC|?|PD|． （1）将曲线C的参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）试求直线AB的方程． 参考答案： 【考点】QI：参数方程的优越性；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（1）直接消去参数t，可得曲线C的普通方程，说明曲线特征即可． （2）直线AB和CD的倾斜角为α、β，求出直线AB和CD的参数方程，与y2=4x联立，由t的几何意义以及韦达定理，通过由|PA|?|PB|=|PC|?|PD|．AB⊥CD求出直线AB的倾斜角，得到直线AB的方程． 【解答】解：（1）曲线C：（t为参数）消去t可得y2=4x，轨迹是顶点在原点对称轴为x轴，焦点为（1，0）的抛物线． （2）设直线AB和CD的倾斜角为α、β， 则直线AB和CD的参数方程分别为：…①和…②， 把①代入y2=4x中的：t2sin2α+（4sinα﹣4cosα）t﹣4=0，…③ 依题意可知sinα≠0且方程③的△=16（sinα﹣cosα）2+16sin2α＞0 ∴方程③有两个不相等的实数根t1，t2 则t1?t2=…④， 由t的几何意义可知|PA|=|t1|，|PB|=|t2|， |PA|?|PB|=|t1?t2|=…⑤， 同理，|PC|?|PD|=…⑥， 由|PA|?|PB|=|PC|?|PD|． 可知：即sin2α=sin2β，∵0≤α，β＜π． ∴α=π﹣β，∵AB⊥CD∴β=α+90°或α=β+90° ∴直线AB的倾斜角为或． ∴kAB=1或﹣1，故直线AB的方程为：y=x或x+y﹣4=0． 【点评】本题考查参数方程与直角坐标方程的互化，参数方程的几何意义是解题的关键，体现参数方程的优越性． 20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，﹣1），且其右焦点到直线的距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．343780 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）设椭圆的方程为，由已知得b=1．设右焦点为（c，0），由题意得，由此能求出椭圆的方程． （2）直线l的方程y=kx+，代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+9kx+=0．由△=81k2﹣15（1+3k2）＞0得，设点M（x1，y1），N（x2，y2），则，设M、N的中点为P，则点P的坐标为．由此入手能够导出直线l的方程． 解答： 解：（1）设椭圆的方程为，由已知得b=1． 设右焦点为（c，0），由题意得，∴， ∴a2=b2+c2=3． ∴椭圆的方程为． （2）直线l的方程y=kx+，代入椭圆方程，得 （1+3k2）x2+9kx+=0． 由△=81k2﹣15（1+3k2）＞0得， 设点M（x1，y1），N（x2，y2）， 则， 设M、N的中点为P，则点P的坐标为． ∵|BM|=|BN|，∴点B在线段MN的中垂线上． ，化简，得． ∵，∴， 所以，存在直线l满足题意，直线l的方程为 或． 点评： 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件． 21. 已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为﹣3和0． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若f（x）的极小值为﹣1，求f（x）的极大值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）f'（x）=[ax2+（2a+b）x+b+c]ex．令g（x）=ax2+（2a+b）x+b+c，简化运算； （Ⅱ）由f（x）的极小值为﹣1确定参数值，通过导数求极大值． 【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=（2ax+b）ex+（ax2+bx+c）ex=[ax2+（2a+b）x+b+c]ex． 令g（x）=ax2+（2a+b）x+b+c， ∵ex＞0， ∴y=f'（x）的零点就是g（x）=ax2+（2a+b）x+b+c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同． 又∵a＞0， ∴当x＜﹣3，或x＞0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0， 当﹣3＜x＜0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0， ∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞），单调减区间是（﹣3，0）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=0是f（x）的极小值点， 所以有 解得a=1，b=1，c=﹣1．  所以函数的解析式为f（x）=（x2+x﹣1）ex． 又由（Ⅰ）知，f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣3），（0，+∞），单调减区间是（﹣3，0）． 所以，函数f（x）的极大值为． 22. 已知函数f（x）=x3－ax－1。（13分） （1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使f（x）在（－1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。 参考答案：