河北省衡水市武邑县审坡中学高三数学文联考试题含解析

河北省衡水市武邑县审坡中学高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知O是△ABC内一点，λ+=，且△OAB的面积是△ABC面积的，则实数λ=（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 参考答案： D 【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【分析】设D是BC的中点，由λ+=，可得=﹣2=2，可得点O在线段AD上．利用△OAB的面积是△ABC面积的，可得点O是AD的中点，即可得出． 【解答】解：设D是BC的中点，∵λ+=，∴=﹣=﹣2=2，可得点O在线段AD上， ∵△OAB的面积是△ABC面积的，∴点O是AD的中点， ∴λ=2． 故选：D． 2. 等差数列中，，则等于(      ) A. 7             B. 14         C. 28         D. 3.5 参考答案： B 3. 已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（　　） A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7 参考答案： D 【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式． 【专题】计算题． 【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可 【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8 ∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4 当a4=4，a7=﹣2时，， ∴a1=﹣8，a10=1， ∴a1+a10=﹣7 当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1 ∴a1+a10=﹣7 综上可得，a1+a10=﹣7 故选D 【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力． 4. 已知方程(b>a>0)的根大于，则实数满足（    ） A． B．       C．    D． 参考答案： A 5. 若函数f（x）=,若f（a）>f（―a）,则实数a的取值范围是 A．（1，0）∪（0，1）                  B．（∞，1）∪（1，+∞） C．（1，0）∪（1，+∞）       D．（∞，1）∪（0，1） 参考答案： C 6. 在中，已知，则一定为    A．等腰三角形　　　B．直角三角形    　C．钝角三角形   D．正三角形 参考答案： A 7. （5分）（2015?淄博一模）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（　　） 　 A． b﹣a=|MO|﹣|MT| B． b﹣a＞|MO|﹣|MT| C． b﹣a＜|MO|﹣|MT| D． b﹣a=|MO|+|MT| 参考答案： A 【考点】： 双曲线的简单性质． 【专题】： 计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： 先从双曲线方程得：a，b．连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|=b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点得出|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案． 解：连OT，则OT⊥F1T， 在直角三角形OTF1中，|F1T|==b． 连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点， ∴|OM|=|PF2|， ∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b =×（﹣2a）+b=b﹣a． 故选A． 【点评】： 本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理．解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论． 8. 已知，为同一平面内的两个向量，且=（1，2），||=||，若+2与2﹣垂直，则与的夹角为（　　） A．0 B． C． D．π 参考答案： D 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用． 【分析】计算||，||，根据向量垂直列方程得出，代入向量的夹角公式计算夹角余弦． 【解答】解：||=，||=， ∵（+2）⊥（2﹣）， ∴（+2）?（2﹣）=2+3﹣2=0，即10+3﹣=0， ∴=﹣． ∴cos＜，＞==﹣1． ∴＜，＞=π． 故选：D． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与向量数量积的关系，属于中档题． 9. 为了解高中生平均每周上网玩微信，刷微博，打游戏享受智能手机带来的娱乐生活体验，从高三年级学生中抽取部分同学进行调查，将所得的数据整理如下，画出频率分布直方图（如图），其中频率分布直方图从左至右前3个小组的频率之比为 ,第二组的频数为150，则被调查的人数应为   （    ） A .600       B .400     C .700     D .500 参考答案： D 10. 若实数x，y满足，则的最大值是（   ） A．3         B．8       C．14       D．15 参考答案： C 作出不等式组对应的平面区域如图 由得，平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时，故选C. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线y=kx+1被曲线截得的线段长度最大值是__________． 参考答案： 4 12. 命题“，使得”的否定是    ▲    ． 参考答案： ，使得 考点：命题否定    13. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为　　． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】综合题；解三角形． 【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab?sinC=ab=c，求得c=3ab．再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值． 【解答】解：在△ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB， 即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=． 由于△ABC的面积为S=ab?sinC=ab=c，∴c=3ab． 再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab?cosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号， ∴ab≥， 故答案为：． 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题． 14. 从甲、乙、丙、丁四人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率为_______. 参考答案： 15. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名。为了了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样。若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为___________. 参考答案：    70   按比例进行抽样，设高一高二共抽n 个学生，则(1600+1200):800=n:20,解得n=70   16. 数列 的第100项是       参考答案： 14 17. 已知椭圆的半焦距为C，（C＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是    ． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据四边形ABFC是菱形得到B的横坐标为（a﹣c），代入抛物线方程求出B的纵坐标为b，因此将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率． 【解答】解：∵椭圆的左焦点为F，右顶点为A， ∴A（a，0），F（﹣c，0） ∵抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点， ∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n） ∵四边形ABFC是菱形，∴m=（a﹣c） 将B（m，n）代入抛物线方程，得 n2=（a+c）（a﹣c）=b2 ∴B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程，得 化简整理，得4e2﹣8e+3=0，解之得e=（e=＞1不符合题意，舍去） 故答案为：． 【点评】本题给出椭圆与抛物线相交得到菱形ABFC，求椭圆的离心率e，着重考查了椭圆、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象． （1）求函数y=g（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A，B，C满足2sin2=g（C+）+1，且其外接圆的半径R=2，求△ABC的面积的最大值． 参考答案： 【分析】（1）由图知周期T，利用周期公式可求ω，由f（）=1，结合范围|φ|＜，可求φ的值，进而利用三角函数图象变换的规律即可得解． （2）利用三角函数恒等变换的应用及三角形内角和定理化简已知可得cosC=﹣，进而可求C，由正弦定理解得c的值，进而由余弦定理，基本不等式可求ab≤4，利用三角形面积公式即可得解面积的最大值． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）由图知=4（+），解得ω=2， ∵f（）=sin（2×+φ）=1， ∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，即φ=2kπ+，k∈Z， 由于|φ|＜，因此φ=，… ∴f（x）=sin（2x+）， ∴f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）， 即函数y=g（x）的解析式为g（x）=sin（2x﹣），…（6分） （2）∵2sin2=g（C+）+1， ∴1﹣cos（A+B）=1+sin（2C+）， ∵cos（A+B）=﹣cosC，sin（2C+）=cos2C， cosC=cos2C，即cosC=2cos2C﹣1， 所以cosC=﹣或1（舍），可得：C=，…（8分） 由正弦定理得，解得c=2， 由余弦定理得cosC=﹣=， ∴a2+b2=12﹣ab≥2ab，ab≤4，（当且仅当a=b等号成立）， ∴S△ABC=absinC=ab≤， ∴△ABC的面积最大值为．…（12分） 【点评】本题主要考查了三角函数周期公式，三角函数图象变换的规律，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题． 19. （本小题满分14分） 已知函数(R). (1) 求的最小正周期和最大值； (2)  若为锐角，且，求的值. 参考答案： (1) 解:          …… 2分                                        …… 3分              .                                     …… 5分