湖南省常德市津市市保河堤镇中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖南省常德市津市市保河堤镇中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，, 则p是q成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 参考答案： A 略 2. 若集合，，则（    ） A、         B、        C、R      D、  参考答案： A 3. 在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)                           参考答案： D 4. 执行如图所示的程序框图，输出n的值为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 参考答案： C 【分析】 利用对数的运算法则，进行求解，结合程序框图的功能进行判断即可． 【详解】由程序框图可知： 若，即，解得： 即当时， 此时输出： 本题正确选项：C   5. 已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩?RB=（　　） A．（1，2] B．[2，4） C．（2，4） D．（1，4） 参考答案： C 【考点】交、并、补集的混合运算．  【专题】计算题． 【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可． 【解答】解：集合A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44， 解得：1＜x＜4，即A=（1，4）， ∵B=（﹣∞，2]， ∴?RB=（2，+∞）， 则A∩?RB=（2，4）． 故选C 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 6. 执行如图所示的程序，则输出的i的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： C 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4． 【解答】解：模拟执行程序，可得 S=10，i=0 执行一次循环体后，i=1，S=9 不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=2，S=7 不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=3，S=4 不满足条件S≤1，再次执行循环体后，i=4，S=0 满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4． 故选：C． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 　 7. 已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到两焦点的距离之和为， 则（    ） A．            B．          C．          D． 参考答案： D 8. 要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（　） 　　A．5个　　　　    B．10个　　　　C．20个　　　　     D．45个 参考答案： A 9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的是 A．    B．    　C．     D．  参考答案： D 略 10. 为实数，则“0＜ab＜1”是a＜或b＞的（    ） A．充分而不必要条件        B．必要而不充分条件 C．充分必要条件            D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 给出下列命题： ①已知a，b都是正数，且，则a＜b； ②已知f′(x)是f(x)的导函数，若x∈R，f′(x)≥0，则f(1)＜f(2)一定成立； ③命题“x∈R，使得x2－2x＋1＜0”的否命题是真命题； ④“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件． 其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确命题的序号都填上) 参考答案： ① 12. 已知向量满足，．若与垂直，则k=　　． 参考答案： 19 略 13. 在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3 ，BC=6 ，P为BC中点，则三角形ABP的周长为_______. 参考答案： 7+ 14. 在中，角A，B，C的对边分别为的值为__________． 参考答案： 解析：在中， ， 由正弦定理得， ， 由余弦定理得， ， ， ， . 15. 已知，则=        .  参考答案： 16. 对于函数定义域为而言，下列说法中正确的是    ▲    ．（填序号） ①函数的图像和函数的图像关于对称。 ②若恒有，则函数的图像关于对称。 ③函数的图像可以由向左移一个单位得到。 ④函数和函数图像关于原点对称。 参考答案： ②④ 略 17. 已知函数，则        。 参考答案： 5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，，其中为实数. (1)设为常数，求函数在区间上的最小值； (2)若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围.           参考答案： 解答: （1）， 当单调递减，当单调递增 ∵t>0    ∴t+2>2 ①，即时，；      ②，即时，上单调递增，；5分 所以  7分 （2），则， 设，则， ① 单调递减，  ② 单调递增， 所以，对一切恒成立，所以；15分   19. 集合，集合，且，求实数的取值范围。   参考答案： 因为A=[1，8]，又A?B， 所以lnx-ax+2＞0，在x∈[1，8]上恒成立，即＞a在x∈[1，8]上恒成立． 令g(x)＝，x∈[1，8]，则g′(x)＝? ＜0，g（x）在[1，8]递减， 所以g（x）min=g（8）= ，所以a＜．   略 20. （10分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点． （Ⅰ）求直线PF的方程； （Ⅱ）求△DAB的面积S范围； （Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值． 参考答案： 考点： 直线的一般式方程；抛物线的应用． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程． （Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m的表达式，再根据m的取值范围求出面积的范围． （Ⅲ），，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值． （Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0）， 于是直线PF的斜率为， 所以直线PF的方程为，即为mx+2y﹣m=0．（3分） （Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 由得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0， 所以，x1x2=1． 于是． 点D到直线mx+2y﹣m=0的距离， 所以． 因为m∈R且m≠0，于是S＞4， 所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．（9分） （Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1，m﹣y1）=μ（x2+1，y2﹣m）， 于是，（x2≠±1）． 所以． 所以λ+μ为定值0．（14分） 点评： 考查求直线方程、抛物线在的焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义，涉及知识较多，综合性较强． 21. （本小题满分12分） 已知数列是公差不为0的等差数列，a1 = 2且a2 , a3 , a4＋1成等比数列。 (Ⅰ)求数列的通项公式； （II）设，求数列的前项和 参考答案： (Ⅰ)设数列的公差为， 由和成等比数列，得 解得或                     ……………………… 2分   当时，，这与成等比数列矛盾舍去 所以                            ………………………4分 ∴。即数列的通项公式为 6分 （Ⅱ）   ……………………… 7分                        ………………………  9分 ∴   ………………… 11分                                              ………………………12分 22. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点． （Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF； （Ⅱ）设PA=k?AB，且二面角E﹣BD﹣C的平面角大于45°，求k的取值范围． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】计算题；证明题． 【分析】（Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF内两相交直线垂直，而AB⊥BF． 根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件； （Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可． 【解答】解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角， 故ABFD是矩形，从而AB⊥BF． 又PA⊥底面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD， 因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD， 所以AB⊥PD， 在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF． 由此得AB⊥平面BEF．   （Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系， 设AB的长为1，则=（﹣1，2，0），=（0，1） 设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为， 则 ∴，取y=1，可得 设二面角E﹣BD﹣C的大小为θ， 则cosθ=|cos＜m1，m2＞|═ 化简得，则． 【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．