2022-2023学年山西省晋中市太谷第一中学高二数学理月考试卷含解析

2022-2023学年山西省晋中市太谷第一中学高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（　） A．　B．　C．　D． 参考答案： C　 略 2. 设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（  ） A．13            B．35               C．49                D． 63     参考答案： C 3. 若是函数的极值点，则f(x)的极小值为(　　) A.－1 B. C. D. 1 参考答案： C 【分析】 求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可. 【详解】函数，可得， 因为是函数的极值点， 可得，解得， 可得， 令， 当或时，，此时函数为单调增函数， 当时，，此时函数为单调减函数， 所以当时函数取得极小值，此时极小值为， 故选C. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.   4. 函数的实数解落在的区间是（ ）                        参考答案： B 略 5. 下列说法正确的是（   ） A、类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理 B、合情推理得到的结论一定是正确的 C、合情推理得到的结论不一定正确 D、归纳推理得到的结论一定是正确的 参考答案： C 【考点】合情推理的含义与作用 【解析】【解答】解：合情推理包含归纳推理和类推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确，故选：C 【分析】根据演绎推理和合情推理的定义判断即可．      6. 一个盒子里有7只好的晶体管、5只坏的晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回，在第一次取到好的条件下，第二次也取到好的概率（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 第一次取到好的条件下，第二次即：6只好的晶体管、5只坏的晶体管中取到好的概率，计算得到答案. 【详解】第一次取到好的条件下，第二次即：6只好的晶体管、5只坏的晶体管中取到好的概率 故答案选C 【点睛】本题考查了条件概率，将模型简化是解题的关键，也可以用条件概率公式计算. 7. 函数在区间[ －2,3 ]上的最小值为          (     ) A. 72            B. 36             C.12               D.0   参考答案： D 略 8. 已知函数的图象与函数的图象有三个不同的交点、、，其中．给出下列四个结论： ①；②；③；④．其中，正确结论的个数有（    ）个 A．1             B．2             C．3              D．4 参考答案： C 由题意，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点， 即方程，由三个不同的实数解，即有三个不同的实数解， 即函数与的图象有三个不同的交点， 又由， 当或时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 其图象如图所示，且当时，， 要使得函数与的图象有三个不同的交点，则，所以①正确的； 当时，即，解得或， 所以当时，则 所以②是正确的； 结合图象可得，所以③是正确的； 又由，整理得， 又因为，所以，即， 结合③可知，所以④是错误的，故选C．   9. 如果函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是（    ） A．        B．       C．       D． 参考答案： A 试题分析：，因为函数的导数是偶函数，所以满足，即，，，所以在原点处的切线方程为，即，故选A. 考点：导数的几何意义 10. 等比数列中，，，则等于（   ) A.    B.    C.      D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 以下关于命题的说法正确的有____________（填写所有正确命题的序号）. ①“若，则函数在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若，则”的否命题是“若，则”； ③命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若，则”与命题“若，则”等价. 参考答案： ②④ 略 12. 已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式f(x)=，则f'（2）的值等于　   ． 参考答案： 【考点】导数的运算． 【分析】求导数，然后令x=1，即可求出f′（1）的值，再代值计算即可 【解答】解：∵f（x）=+3xf′（1）， ∴f′（x）=﹣+3f′（1）， 令x=1，则f′（1）=﹣1+3f′（1）， ∴f′（1）=， ∴f′（2）=﹣+= 故答案为：． 【点评】本题主要考查导数的计算，要注意f′（1）是个常数，通过求导构造关于f′（1）的方程是解决本题的关键． 　 13. 三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2，PC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　　． 参考答案： 12π 【考点】LG：球的体积和表面积． 【分析】可得△PAC是Rt△．PBC是Rt△．可得三棱锥P﹣ABC的外接球的球心、半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积． 【解答】解：∵AP=2，AC=2，PC=2，∴AP2+AC2=PC2 ∴△PAC是Rt△． ∵PB=2，BC=2，PC=2，∴∴△PBC是Rt△． ∴取PC中点O，则有OP=OC=OA=OB=， ∴O为三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，半径为． ∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=12π． 故答案为：12π 14. 将一个半径为5的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成，它们两两成600角。则水晶球的球心到支架顶点P的距离是  ___________________。 参考答案： 略 15. 若函数f（x）=是奇函数，则f（x）≥的解集为　（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列3个函数： ①f（x）=ex； ②f（x）=lnx+1； ③f（x）=x3， 其中不存在“稳定区间”的函数有　     　（填上正确的序号）． 参考答案： ③ 考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对三个函数逐一进行判断，即可得到答案． 解答： 解：①对于函数f（x）=ex ，若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有ea=a，eb=b， 即方程ex=x有两个解，即y=ex和y=x的图象有两个交点，这与即y=ex和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”． ②对于 f（x）=lnx+1，若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有lna+1=a，且lnb+1=b，即方程lnx+1=x有两个解， 即y=lnx+1和y=x的图象有两个交点，这与y=lnx+1和y=x的图象有且只有一个公共点相矛盾，故②不存在“稳定区间”． ③对于f（x）=x3 存在“稳定区间”，如 x∈时，f（x）=x3 ∈．故③存在“稳定区间”． 存在稳定区间区间的函数有 ③． 故答案为：③． 点评： 本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于中档题 16. 已知f（x）是定义域为R的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣2x，则f（﹣5）=　    　． 参考答案： ﹣1 【考点】3P：抽象函数及其应用；3T：函数的值． 【分析】通过f（2+x）=f（2﹣x），再利用偶函数的性质f（﹣x）=f（x）推导周期．然后化简f（﹣5）利用已知条件求解即可． 【解答】解：f（x）是定义域为R的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x）， f（x+4）=f[2﹣（2+x）]=f（﹣x）=f（x），f（x+4）=f（x） ∴函数f（x）是以4为周期的周期函数． 当x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣2x， 则f（﹣5）=f（﹣1）=f（1）=12﹣2×1=﹣1． 故答案为：﹣1． 17. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. （Ⅰ）求甲在局以内（含局）赢得比赛的概率； （Ⅱ）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和数学期望. 参考答案： 解：用事件表示第局比赛甲获胜，则两两相互独立。                  …………1分 （Ⅰ） =                                             …………4分 （Ⅱ）的取值分别为                                              …………5分 ， ，………9分 所以的分布列为 2 3 4 5 …………11分 元                                       …………13分   略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知椭圆C的方程为，如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为 （Ⅰ）当椭圆C与直线相切时，求的值； （Ⅱ）若椭圆C与三边无公共点，求的取值范围； （Ⅲ）若椭圆C与三边相交于不同的两点M,N，求的面积的最大值． 参考答案： （1）直线的方程： 联立  消去得   由 得  又      ……………………2分 （2）由图可知当椭圆C在直线的左下方或在椭圆内时，两者便无公共点 ①当椭圆C在直线的左下方时 解得                ……………………4分 ②当且当点在椭圆内时，在椭圆内   又  综上所述，当或时，椭圆与无公共点……………………6分 （3）由（2）可知当时，椭圆与相交于不同的两个点 又因为当时，椭圆方程为，此时椭圆恰好过点 ①当时，在线段上，此时  ……………8分 当且仅当分别与重合时等号成立 ②当时，点分别在线段上易得，           ……………………10分 令  则  综上可得面积的最大值为1          ……………………12分 19. 已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为矩形， 侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC＝2AB＝2PA＝6，M，N为侧棱PC上的 两个三等分点，如图所示． (1) 求异面直线AN与PD所成角的余弦值； (2) 求二面角M－BD－C的余弦值． 参考答案： 略 20. 已知函数． （Ⅰ）当时，讨论的单调性． （Ⅱ）若实数满足，且函数的极小值点与的极小值点相同．求证：的极小值小于等于． 参考答案： 见解析 解：（I）， ， 由，得或