2022年山东省泰安市中学高二数学理测试题含解析

2022年山东省泰安市中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ） A．(0, +∞) B．(0, 2) C．(0, 1) D． (1, +∞) 参考答案： C 2. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则＝（    ） A．1        B．2        C．2013        D．2014   参考答案： C 3. i为虚数单位，i607的共轭复数为（　　） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 参考答案： A 【考点】A1：虚数单位i及其性质． 【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可． 【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i， 它的共轭复数为：i． 故选：A． 4. 设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　) A．－                                                      B．－ln2 C.                                                             D．ln2 参考答案： D f′(x)＝ex－ae－x，由于f′(x)是奇函数，故f′(－x)＝－f′(x)对任意x恒成立，由此得a＝1，由f′(x)＝ex－e－x＝得2e2x－3ex－2＝0，即(ex－2)(2ex＋1)＝0，解得ex＝2，故x＝ln2，即切点的横坐标是ln2.   5. 图2是某城市11月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择11月1日至11月13日中的某一天到达该城市,并停留2天.此人到达当日空气质量优良的概率为，此人在该城市停留期间只有1天空气重度污染的概率为，则、的值分别为（   ） A. ， 　 　 B．， 　 C． ， 　　 D．， 　 参考答案： C 6. 在中，则边的值为                     （    ） A.     B.     C.    D. 参考答案： A 略 7. 平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为．过点F1的直线l与C交于A、B两点，且△ABF2周长为，那么C的方程为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意画出图形并求得a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求． 【解答】解：如图，设椭圆方程为． ∵△ABF2周长为，∴4a=，得a=． 又，∴c=1． 则b2=a2﹣c2=2． ∴椭圆C的方程为：． 故选：B． 8. 在复平面上，复数的对应点所在象限是 A．第一象限      B．第二象限     C．第三象限        D．第四象限 参考答案： C 9. 已知点在直线上运动，则的最小值是  （  ） A.         B.       C.         D. 18 参考答案： C 10. 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的参数方程为 （φ为参数），直线l的极坐标方程是ρ（cosθ+2sinθ）=15．若点P、Q分别是曲线C和直线l上的动点，则P、Q两点之间距离的最小值是（　　） A． B．2 C．2 D． 参考答案： C 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】设P（3cosφ，2sinφ）（φ为参数），直线l的极坐标方程化为普通方程：x+2y﹣15=0．则点P到直线l的距离d==，利用三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：设P（3cosφ，2sinφ）（φ为参数）， 直线l的极坐标方程是ρ（cosθ+2sinθ）=15化为普通方程：x+2y﹣15=0． 则点P到直线l的距离d== ≥=2，当且仅当sin（φ+θ）=1时取等号，arctanθ=． 故选：C． 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如下图，在三角形中，，分别为，的中 点，为上的点，且. 若 ，则实数          ，实数          . 参考答案： 2, 1 12. 如图是y＝f(x)的导函数的图象，现有四种说法： (1)f(x)在(－3,1)上是增函数； (2)x＝－1是f(x)的极小值点； (3)f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； (4)x＝2是f(x)的极小值点；以上正确的序号为________． 参考答案： ② 略 13. 在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为            .  参考答案： 14. 计算 ____________．（为虚数单位）． 参考答案： 略 15. 不等式的解集为_______. 参考答案： (1,+∞) 略 16. 如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比等于　　． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】由已知中三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，我们易计算出三棱锥A﹣BCD的体积，又由点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，我们可以判断M的轨迹与三棱锥转成的两个几何体的体积，进而得到答案． 【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4， 则棱锥A﹣BCD的体积V== 又∵点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点， ∴点M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上 则点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比为： ：（﹣）=， 故答案为． 【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积及球的体积，其中判断出M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上是解答本题的关键． 17. 若PQ是圆x2+y2=9的弦，PQ的中点是（1，2），则直线PQ的方程是 　　． 参考答案： x+2y﹣5=0 【考点】直线与圆相交的性质． 【分析】设圆的圆心为O，PQ的中点是E，根据圆的弦的性质可知OE⊥PQ，根据点E的坐标求得直线OE的斜率进而求得PQ的斜率，最后利用点斜式求得直线PQ的方程． 【解答】解：设圆的圆心为O，PQ的中点是E（1，2），则OE⊥PQ，则koE==2 ∴kPQ=﹣ ∴直线PQ的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），整理得x+2y﹣5=0 故答案为：x+2y﹣5=0 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）某调查公司在某服务区调查七座以下小型汽车在某段高速公路的车速（km/t），办法是按汽车进服务区的先后每间隔50辆抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问，将调查结果按[60，65）[65，70）[70，75）[75，80），[80，85）[85，90）分成六段，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计这40辆小型车辆车速的众数和中位数． （2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中至少有一辆的车速在[65，70）的概率． 参考答案： （Ⅰ）众数的估计值为最高矩形的中点， ∴众数的估计值为：=77.5． 设图中虚所对应的车速为中位数的估计值x， 则0.01×5+0.02×50.004×5+0.06×（x﹣75）=0.5， 解得x=77.5， ∴中位数的估计值为77.5． （Ⅱ）从频率分布直方图中知，车速在[60，65）的车辆数为0.01×5×40=2辆， 车速在[65，70）的车辆数为0.02×5×40=4辆， ∴从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆， 抽出的2辆车中至少有一辆的车速在[65，70）的概率： p=1﹣=． 19. （本小题满分15分）    定义在上的函数满足两个条件：①对于任意，都有   ；②曲线存在与直线平行的切线.   （Ⅰ）求过点的曲线的切线的一般式方程；   （Ⅱ）当，时，求证：. 参考答案： 解：（Ⅰ）令得，，解得或.……2分                 当时，令得，，即，        ，由得，，此方程在上无解，这说         明曲线不存在与直线平行的切线，不合题意，则，         此时，令得，，即，，         由得，，此方程在上有解，符合题意.…………………5分         设过点的切线切曲线于，则切线的斜率为，         其方程为，把点的坐标代入整理得，         ，解得或， …………………………………7分         把或分别代入上述方程得所求的切线方程是        和，即和.  ……9分    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，                                ……………………………………………………………………11分   由，知，，那么                                    所以.    …………………………………………15分 20. 已知函数. （1）若在处取得极值，求的值；（2）讨论的单调性； （3）证明：（）为自然对数的底数） 参考答案： 解：  （1）是的一个极值点，则         ，验证知=0符合条件.         （2）.    1）若=0时，          单调递增，在单调递减； 2）若    上单调递减.                            3）若.    .    再令.             在.    综上所述，若上单调递减 若   .    若时，在单调递增，在单调递减.  （3）由（2）知，当 当.     略 21. (本小题满分12分)已知四棱锥的底面是直角梯形, , ,,是的中点 （1）证明：； （2）求二面角的大小. 参考答案： 证明：取的中点为连接 ------------2分 又 ---------4分                                         ----------------------6分 （2）建系：以DA，DB，DP分别为x轴、y轴、z轴， 则               -------------------7分                     ---------------------- -------10分 令 x=1,则 又因为 二面角为                                ------------------12分   22. （1）已知圆（x+2）2+y2=1过椭圆C的一个顶点和焦点，求椭圆C标准方程． （2）已知椭圆的离心率为，求k的值． 参考答案： 解：（1）圆（x+