四川省自贡市光第中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

四川省自贡市光第中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线方程为(      ). A.  B.    C.   D. 参考答案： C 略 2. 数列{an}的首项为1，{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)则（    ） A．    B．       C．    D． 参考答案： A 3. 把三进制数1021（3）化为十进制数等于（　　） A．102 B．34 C．12 D．46 参考答案： B 【考点】进位制． 【分析】由三进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，即可得到答案． 【解答】解：1021（3） =1+2?3+0?32+1?33 =34， 故选：B． 4. 各项为正数的等比数列，，则（    ） A．5        B．10        C．15        D．20 参考答案： C 5. 定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（　　） A．3f（2）＜2f（3） B．3f（4）＜4f（3） C．2f（3）＜3f（4） D．f（2）＜2f（1） 参考答案： A 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】依题意，f′（x）＜0， ?＞0?[]′＜0，利用h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数即可得到答案． 【解答】解：∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数， ∴f′（x）＜0， 又∵＞x， ∴＞0?＜0?[]′＜0， 设h（x）=，则h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数， ∵＞x＞0，f′（x）＜0， ∴f（x）＜0． ∵h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数， ∴＞?＞0?2f（3）﹣3f（2）＞0?2f（3）＞3f（2），故A正确； 由2f（3）＞3f（2）＞3f（4），可排除C； 同理可判断3f（4）＞4f（3），排除B； 1?f（2）＞2f（1），排除D； 故选A． 6. ．设集合，，则= A．          B．       C．  　        D． 参考答案： B 7. 若是椭圆的上下顶点, 是该椭圆的两个焦点,则以为顶点的 四边形的面积为(      )   A. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m                 B.                        C.                       D. 参考答案： A 8. 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的极值点是（　　） A．x1，x3，x5 B．x2，x3，x4 C．x1，x5 D．x2，x4 参考答案： C 【考点】函数在某点取得极值的条件． 【分析】根据极值的定义，观察图象知导数值变化的个数，即为极值点的个数． 【解答】解：因为图象是导函数的图象，所以导数值的符合代表函数单调性的变化． 由图象可知在x1处，左侧导数为负右侧为正，所以在x1处函数取得极小值． 在x5处，左侧导数为正右侧为负，所以在x1处函数取得极大值． 故选C． 9. 如图所示的坐标平面的可行域内（包括边界），若使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（　　） A． B． C．4 D． 参考答案： B 【考点】简单线性规划． 【分析】化目标函数为直线方程的斜截式，结合使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，可知直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合，由斜率相等求得a值． 【解答】解：如图， 化目标函数z=ax+y（a＞0）为y=﹣ax+z， 要使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个， 则直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合， 即﹣a=，∴a=． 故选：B． 10. 已知是定义域R上的增函数，且 ，则函数的单调情况一定是（  ） A　在（ ，０）上递增     B   在（ ，０）上递减    C　在Ｒ上递增　　　　　　　Ｄ   在上Ｒ递减 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 正方体中，点为的中点，为的中点，  则与所成角的余弦值为             参考答案： 2/5 略 12. 设a1，a2，…，an是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列． （1）若n=4，则=        ； （2）所有数对（n，）所组成的集合为           ． 参考答案： ﹣4，1;{（4，﹣4），（4，1）}. 【考点】等差数列与等比数列的综合． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（1）当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项不可能成等比数列，再考虑分别删去a2，a3，即可得到结论； （2）设出数列的公差d，列举出数列的各项，讨论从第一项开始删去，由得到的数列为等比数列，利用等比数列的性质，列出关于d与首项的方程，求出方程的解即可得到d的值，根据d不为0，得到满足题意的d的值，即可求出满足题意的所有数对，组成集合的形式即可． 【解答】解：（1）当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则由连续三项成等比数列，可推出d=0． 若删去a2，则a32=a1?a4，即（a1+2d）2=a1?（a1+3d）化简得a1+4d=0，得=﹣4 若删去a3，则a22=a1?a4，即（a1+d）2=a1?（a1+3d）化简得a1﹣d=0，得=1 综上，得=﹣4或=1． （2）设数列{an}的公差为d，则各项分别为：a1，a1+d，a1+2d，…，a1+（n﹣1）d，且a1≠0，d≠0， 假设去掉第一项，则有（a1+d）（a1+3d）=（a1+2d）2，解得d=0，不合题意； 去掉第二项，有a1（a1+3d）=（a1+2d）2，化简得：4d2+a1d=0即d（4d+a1）=0，解得d=﹣a1， 因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a1+4d=0），所以数对（n，）=（4，﹣4）； 去掉第三项，有a1（a1+3d）=（a1+d）2，化简得：d2﹣a1d=0即d（d﹣a1）=0，解得d=a1， 则此数列为：a，2a，3a，4a，…此数列仍然不会出现第五项， 因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对（n，）=（4，1）； 去掉第四项时，有a1（a1+2d）=（a1+d）2，化简得：d=0，不合题意； 当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意． 所以满足题意的数对有两个，组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）}． 故答案为：﹣4，1；{（4，﹣4），（4，1）} 【点评】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，是一道难题． 13. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是    ▲    ． 参考答案： 48 略 14. 若正数满足,则的最大值是___________. 参考答案： 　2 略 15. 若随机变量，则______． 参考答案： 10. 试题分析：因为，所以；由数学方差的性质， 得. 考点：二项分布、数学方差的性质. 16. 设，则四个数，，，中最小的是__________． 参考答案： 【分析】 根据基本不等式，先得到，，再由作商法，比较与，即可得出结果. 【详解】因为，所以，， 又，所以， 综上，最小. 故答案为 【点睛】本题主要考查由不等式性质比较大小，熟记不等式的性质，以及基本不等式即可，属于常考题型. 17. 已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an+1，则数列{an}的通项公式an=　　． 参考答案： 2n+1﹣1 【考点】等比关系的确定；数列的概念及简单表示法． 【分析】将数列递推式两边同时加上1，化简后再作商可得数列{an+1}是等比数列，代入通项公式化简，再求出an． 【解答】解：由题意知an+1=2an+1，则an+1+1=2an+1+1=2（an+1） ∴=2，且a1+1=4， ∴数列{an+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列． 则有an+1=4×2n﹣1=2n+1， ∴an=2n+1﹣1． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）根据椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距，求出几何量，即可求椭圆C的方程； （Ⅱ）△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2，分类讨论，设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，消x并整理，利用韦达定理，根据FM与FN比值为2，即可求得直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得c=1，a=2c=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴=， ∴椭圆C的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）△BFM与△BFN的面积比值为2等价于FM与FN比值为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当直线l斜率不存在时，FM与FN比值为1，不符合题意，舍去；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）， 直线l的方程代入椭圆方程，消x并整理得（3+4k2）y2+6ky﹣9k2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=﹣①，y1y2=﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由FM与FN比值为2得y1=﹣2y2③ 由①②③解得k=±， 因此存在直线l：y=±（x﹣1）使得△BFM与△BFN的面积比值为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 19. 已知各项均为正数的数列满足，且，其中. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项之和为，若对任意的，总有，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（1）由得， ∵，∴，∴， ∴数列是以2为公比的等比数列. 设数列的首项为，又， ∴，. （2）由（1）知，∴， 则数列的前项和为. 由，可得，即. ∵对任意的，总有，∴， ∴实数的取值范围是.   20. （12分）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？ 参考答案：   考点： 函数模型的选择与应用．3804980 专题： 计算题． 分析： 设小正方形的边长为xcm，则盒子容积为：y=（8﹣2x）?（5﹣2x）?x为三次函数，用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大． 解答： 解：设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，）； 盒子容积为：y=（