2022年湖南省岳阳市北港第一中学高二数学理联考试题含解析

2022年湖南省岳阳市北港第一中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，，则 A．   B．  C．  D． 参考答案： B 2. 设命题p：函数的最小正周期是  命题q：函数的图象关于轴对称，则下列判断正确的是（   ） A．为真      B． 为假      C．P为真          D．为假   参考答案： B解：P、q均为假   故先B 3. 已知集合，，则等于（    ） A．{0,1} B．{0,1,2} C．{0,1,2,8} D．{0,1,2,8,9} 参考答案： D 4. 下列说法中正确的个数是 ①命题“，”是真命题 ②命题“若，则”的逆否命题是假命题 ③“，”的否定为“，” ④命题“，”是真命题（  ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 【分析】 ①，利用二次函数判别式判断①的正误；②，利用原命题与逆否命题同真假可判断②的正误③，利用全称命题的否定可判断③的正误；构造函数求最值可判断④的正误． 【详解】利用二次函数判别式得，故，，故①正确； 若，则，故原命题真，故逆否命题是真命题，故②错误； “，”的否定为“，”，故③错误； 令，故函数单调递增，故，即，故④正确． 故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题间的关系、命题的否定的概念，属于中档题． 5. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质． 【分析】由△ABF2是正三角形可知，即，由此推导出这个椭圆的离心率． 【解答】解：由题，∴即 ∴， ∴， 解之得：（负值舍去）． 故答案选A． 6. 在对吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(　　) A．若由随机变量求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，那么有5%的可能性使得推断错误 B．若由随机变量求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，那么说明吸烟与患肺病相关程度为95% C．若由随机变量求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则若某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病 D．若由随机变量求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99个人患有肺病 参考答案： A 略 7. 抛物线的焦点坐标为(    ) A.(0,－6) B.(－6,0) C. (0,－3) D. (－3,0) 参考答案： D 8. 直线l的参数方程为，（t为参数），上的点P1对应的参数是t1，则点P1 与P（a，b）之间的距离为            （　　）． A．|t1|  B．2|t1|  C．|t1|  D．|t1| 参考答案： Ｃ 9. 已知与之间的几组数据如下表: X 0 1 2 3 y 1 3 5 7    则与的线性回归方程必过                         （     ）      A．           B．        C．         D． 参考答案： C 10. 在梯形ABCD中，，，．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（    ）． A． B． C． D． 参考答案： C 由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为，高为的圆锥，挖去一个相同底面高为的倒圆锥， 几何体的体积为：， 综上所述． 故选． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设x,y满足约束条件 则z=x-2y的取值范围为              ; 参考答案： [-3,3] 12. 已知平面α∥β，，有下列说法： ① a与β内的所有直线平行； ② a与β内无数条直线平行； ③ a与β内的任意一条直线都不垂直. 其中正确的序号为            参考答案： ② 13. 不等式的解集为                         ； 参考答案： 14. 正方体八个顶点中任取4个不在同一平面上的顶点组成的二面角的可能值有          个。 参考答案： 8 15. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为                参考答案： 略 16. 给出下列命题 ①“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件； ②“lga＝lgb”是“a＝b”的必要不充分条件； ③若x， y∈R，则“|x|＝|y|”是“x2＝y2”的充要条件； ④△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件． 其中真命题是   ▲     ．（写出所有真命题的序号） 参考答案： ③④ 略 17. 如图,在长方体中，，点D在平面上的射影为H，则的面积是          ． 参考答案：        三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分8分) 已知 （1）求的单调增区间； （2）若在内单调递增，求的取值范围. 参考答案： (1) 时;时.(2) 19. （本题满分12分）设是函数（）的两个极值点 （1）若，求函数的解析式； （2）若，求的最大值。 参考答案： (1)∵是函数的极值点， ∴∴……………     ……………4分 （2）中对 ∴的两个不相等的实根 由韦达定理知，………………………6分 ∴|x1|+|x2|=|x1-x2|= ………………………8分 ∴即………………………9分 令 ； ………………………11分    ∴b≤4 ………………………12分 20. 已知某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表： 商店名称 A B C D E 销售额（x）/千万元 3 5 6 7 9 利润额（y）/千万元 2 3 3 4 5   （Ⅰ）画出散点图； （Ⅱ）根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y与销售额x之间的线性回归方程； （Ⅲ）若该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少？   （参考公式：   其中：）     参考答案： 解：（1）散点图（3分）   （2）由已知数据计算得： （3分） 则线性回归方程为       （2分） （3） 将x=10代入线性回归方程中得到（千万元）（2分） 21. 已知函数f（x）=x2+alnx （1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值； （2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）代入a值，求出导函数，利用导函数求出极值； （2）代入a值，求出导函数，判断函数在区间上的单调性，利用单调性求出函数的最值． 【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞）， f（x）=x2﹣lnx， f'（x）= 当x∈（0，1）时f'（x）＜0，f（x）递减； 当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，f（x）递增； ∴f（x）的极小值是f（1）=，无极大值． （2）f（x）=x2+lnx， f'（x）=x＞0， ∴f（x）在[1，e]上递增， ∴函数的最大值f（e）=e2+1，最小值f（1）=． 22. 已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l： x+y﹣a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T （1）若a=8，切点T（，﹣1），求点P的坐标； （2）若PA=2PT，求实数a的取值范围； （3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率． 参考答案： 【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系． 【分析】（1）直线PT切于点T，则OT⊥PT，求出kOT，kPT，直线l和PT，求出P的坐标． （2）设P（x，y），由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=，有公共点，列出不等式求解即可． （3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，设直线BC为y=kx+b（b≠0），将它与圆方程联立，设B（x1，y1），C（x2，y2），利用kOBkOC===k2，求解即可． 【解答】解：（1）由题意，直线PT切于点T，则OT⊥PT， 又切点T（，﹣1），所以kOT=﹣，∴kPT=， 故直线PT的方程为y+1=（x﹣），即． 联立直线l和PT，解得即P（2）． （2）设P（x，y），由PA=2PT，可得（x+2）2+y2=4（x2+y2﹣4）， 即3x2+3y2﹣4x﹣20=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆（x﹣）2+y2=， 所以问题可转化为直线与圆（x﹣）2+y2=，有公共点， 所以d=，解得． （3）当直线BC垂直与x轴时，显然不成立，所以设直线BC为y=kx+b（b≠0）， 将它与圆方程联立并消去y得（k2+1）x2+2kbx+b2﹣4=0， 设B（x1，y1），C（x2，y2）， 则x1x2=，x1+x2=，因为则y1y2=， 故kOBkOC===k2， 即b2（k2﹣1）=0，因为b≠0，所以k2=1，即k=±1．