2022-2023学年福建省厦门市崇德中学高二数学理月考试题含解析

2022-2023学年福建省厦门市崇德中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若随机变量等可能取值且，那么： A.3          B.4           C.10           D.9 参考答案： C 2. 已知i为虚数单位，为复数z的模，则（    ） A．        B．        C．          D． 参考答案： D ， 故选D.   3. 若，则执行如图所示的程序框图，输出的是（　　） A．c B．b C．a D． 参考答案： B 【考点】EF：程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算a，b，c中的最大值，并输出，根据指数函数，对数函数的单调性得出a，b，c的范围进而可得答案． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算a，b，c中的最大值． ∵y=log2x是增函数， ∴a=log20.3＜log21=0， ∵y=2x是增函数， ∴b=20.3＞20=1， 又c=0.32=0.09， ∴0＜c＜1， ∴b＞c＞a， 故选：B． 4. 设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，.给出下列结论： ① ；            ② ； ③ 的值是中最大的；④ 使成立的最大自然数等于198. 其中正确的结论是（   ） A. ①③             B. ①④         C.  ②③          D. ②④ 参考答案： B 5. 已知集合,则下列结论正确的是(      ) A.        B.          C.        D. 参考答案： C 6. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A．         B．       C.[0,+∞)         D．[1,+∞) 参考答案： D f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx）， =2a﹣1+sin2x﹣a（cosx﹣sinx）， 若f（x）在递增， 则≥0在恒成立， 即a≥在恒成立， 令g（x）=，x∈， 则=， 令＞0，即sinx＞cosx，解得：x＞， 令＜0，即sinx＜cosx，解得：x＜， 故g（x）在[0，）递减，在（，]递增， 故g（x）max=g（0）或g（）， 而g（0）=1，g（）=， 故a≥1， 故选D．   7. A,B,C,D,E,F六人并排站成一排，如果A,B必须相邻，那么不同的排法种数有 A.种            B.种        C.种           D. 种 参考答案： B 略 8. 已知复数，若复数z对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 因为，所以由题设可得，应选答案A。   9. 圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为 A．720                 B．360                 C．240               D．120 参考答案： D 10. 函数的最小正周期是(      ) A、           B、          C、             D、 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的单调增区间为_____________________________。 参考答案： 略 12. 设圆圆.点A，B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为_________. 参考答案： 【分析】 在直接坐标系中，画出两个圆的图形和直线的图象，根据圆的性质，问题就转化为|PC1|+|PC2|﹣R﹣r＝|PC1|+|PC2|﹣7的最小值，运用几何的知识，作出C1关于直线y＝x对称点C，并求出坐标，由平面几何的知识易知当C与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|取得最小值，最后利用两点问题距离公式可以求出最小值. 【详解】 可知圆C1的圆心（5，﹣2），r＝2，圆C2的圆心（7，﹣1），R＝5，如图所示： 对于直线y＝x上的任一点P，由图象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值， 则问题可转化为求|PC1|+|PC2|﹣R﹣r＝|PC1|+|PC2|﹣7的最小值，    即可看作直线y＝x上一点到两定点距离之和的最小值减去7， 又C1关于直线y＝x对称的点为C（﹣2，5）， 由平面几何的知识易知当C与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|取得最小值， 即直线y＝x上一点到两定点距离之和取得最小值为|CC2| ∴|PA|+|PB|的最小值为 ＝﹣7． 【点睛】本题考查了求定直线上的动点分别到两个圆上的动点的距离之和最小值问题，考查了数形结合思想，利用圆的几何性质转化是解题的关键，利用对称思想也是本题解题的关键. 13. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是            ． 参考答案： 或 14. 有一根长为6cm,底面半径为0.5cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为                      参考答案： 15. 函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则a=_____． 参考答案： 1. 【分析】 求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可． 【详解】函数的图象在处的切线与直线垂直, 函数的图象在的切线斜率     本题正确结果：1 【点睛】本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键． 16. 抛物线x=4y2的准线方程是　　． 参考答案： x=﹣ 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】抛物线方程化为标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程． 【解答】解：抛物线x=4y2，化为y2=x， ∴2p=， ∴p=，开口向右， ∴准线方程是x=﹣． 故答案为x=﹣． 17. 设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足； (i)；(ii)对任意，当时,恒有． 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合： ①； ②； ③； ④ 其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是_________(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)． 参考答案： ②③④ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 5个相同的红球和6个相同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球，若取出的红球个数多于白球个数，则有多少种不同的取法？ 参考答案： 65(种). 【分析】 由取出4个球且取出的红球个数多于白球个数可知，取出的4个球中至少有3个红球，分为全为红球和4个球里有3个红球两种情况，分别得到取法的数量，然后相加得到答案. 【详解】解:依题意知，取出的4个球中至少有3个红球，可分两类: ①取出的全是红球有的取法有： ②取出的4球中有3个红球的取法有； 由分类计数原理，共有(种). 【点睛】本题考查利用组合解决问题，分类计数原理，属于简单题. 19. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为. （1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）已知曲线C3的极坐标方程为，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A，B均异于原点O，且，求的值. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）根据曲线的参数方程，消去参数，即可得到的普通方程；由两边同时乘以，即可得到，进而可得的直角坐标方程； (2)根据的直角坐标方程先得到其极坐标方程，将分别代入和的极坐标方程，求出和，再由，即可求出结果. 【详解】解：（1）由消去参数，得的普通方程为. 由，得，又，， 所以的直角坐标方程为. （2）由（1）知曲线的普通方程为， 所以其极坐标方程为. 设点，的极坐标分别为，， 则，， 所以， 所以，即， 解得， 又，所以. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、以及参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型. 20. （本小题满分12分） 设正项等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和为． 参考答案： （1）；（2） 21. 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B． （1）求线段AB的中点M的轨迹C的方程； （2）是否存在实数，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程． 【分析】（1）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论； （2）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论． 【解答】解：（1）设M（x，y）， ∵点M为弦AB中点即C1M⊥AB， ∴即， ∴线段AB的中点M的轨迹的方程为； （2）由（1）知点M的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧EF（如图所示，不包括两端点），且，，又直线L：y=k（x﹣4）过定点D（4，0）， 当直线L与圆C相切时，由得，又， 结合上图可知当时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点． 22. 在平面直角坐标系中，已知圆，圆． （Ⅰ）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （Ⅱ）圆是以1为半径，圆心在圆：上 移动的动圆 ，若圆上任意一点分别作圆 的两条切 线，切点为，求的取值范围 ； （Ⅲ）若动圆同时平分圆的周长、圆的周长， 如图所示，则动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 参考答案： （Ⅰ）设直线的方程为，即．       因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，所以圆心到：的距离为．         化简，得，解得或．   所以直线的方程为或           ……………4分 （Ⅱ） 动圆D是圆心在定圆上移动，半径为1的圆 设，则在中，， 有,则 　　 由圆的几何性质得，，即， 则的最大值为，最小值为.  故.  ……………8分 （Ⅲ）设圆心，由题意，得，   即．   化简得，即动圆圆心C在定直线上运动． 设，则动圆C的半径为． 于是动圆C的方程为． 整理，得． 由得或 所以定点的坐标为，．    ………13分 略