湖南省怀化市明中学高二数学理上学期期末试题含解析

湖南省怀化市明中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 圆在P处的切线的方程为(    ) A.    B.   C.   D. 参考答案： B 2. 若实数满足，则的最小值是(      ) A.6         B. 3        C.2          D. 4 参考答案： A 3. 下列说法正确的是（　　） A．任何两个变量都具有相关关系；　　　　　　 B．球的体积与该球的半径具有相关关系； C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系； D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系。 参考答案： D 4. 设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(     ) A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C， 【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知 可知|PF1|=2=4b 根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得= ∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0 故选C 【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题 5. 在△ABC 中， ，则A等于（     ） A．30°　　  B．45°　　   C．60°　　     D．120° 参考答案： D 6. 将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以表示: 则7个剩余分数的方差为（　　） A． B． C．36 D． 参考答案： B 7. 在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三极品60个，用分层抽样法从中抽取容量为20的样本，则应抽取三极品的个数为 A．2                B．4                C．6                D．10 参考答案： D 8. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（　　） ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． A．① B．② C．①②③ D．③ 参考答案： C 【考点】类比推理． 【分析】正四面体中，各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等，②正确； ③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确． 【解答】解：正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确； 对于②，∵正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等， ∴相邻两个面所成的二面角都相等，②正确； 对于③，∵各个面都是全等的正三角形， ∴各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确． ∴①②③都是合理、恰当的． 故选C． 9. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（      ） A.6        B.7         C.9          D.10 参考答案： C 略 10. 袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】组合及组合数公式． 【分析】因为这个样本要恰好是按分层抽样方法得到的概率，依题意各层次数量之比为4：3：2：1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个，所以红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个是按分层抽样得到的概率． 【解答】解：∵这个样本要恰好是按分层抽样方法得到的概率 依题意各层次数量之比为4：3：2：1， 即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个， 根据古典概型公式得到结果为； 故选A 【点评】本题考查分层抽样和古典概型，分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （圆锥曲线）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为________． 参考答案： 略 12. 函数的导函数的部分图象如图所示，其中，为图象与轴的交点，为图象与轴的两个交点，为图象的最低点． （1）若，点的坐标为，则       ； （2）若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在内的概率为          ． 参考答案： （1）3；（2）. 13. 下列说法： ① “，使>3”的否定是“，使3”； ②  函数的最小正周期是； ③ “在中，若，则”的逆命题是真命题； ④ “”是“直线和直线垂直”的充要条件；其中正确的说法是 （只填序号）. 参考答案： ①②③ 14. 两个球的体积之比为，那么这两个球的表面积之比为         。 参考答案： 4：9 15. 已知数列{an}的通项公式是设其前n项和为Sn，则S12      . 参考答案： 0 略 16. 设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为　　． 参考答案： ﹣6 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=x+y得y=﹣x+z，则直线截距最大时，z也最大． 平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时， 直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为12， 即x+y=12， 由，得，即B（6，6），此时B也在直线y=k上， ∴k=6， 当直线y=﹣x+z经过点A时， 直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小， 由，即，即A（﹣12，6）， 此时z=x+y=﹣12+6=﹣6， 故答案为：﹣6 17. 算法 Ｓ１　　输入，ｘ，ｙ Ｓ２　　ｍ＝ｍａｘ{ｘ，ｙ} Ｓ３　　ｎ＝ｍｉｎ{ｘ，ｙ} Ｓ４　　若ｍ／ｎ＝[ｍ／ｎ]（[ｘ]表示ｘ的整数部分） 则输出ｎ，否则执行Ｓ５ Ｓ５　　ｒ＝ｍ－[ｍ／ｎ]＊ｎ Ｓ６　　ｍ＝ｎ Ｓ７　　ｎ＝ｒ Ｓ８　　执行Ｓ４ Ｓ９　　输出ｎ 上述算法的含义是　　　　　　　　　。 参考答案： 求ｘ，ｙ的最大公约数 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，4Sn﹣4n+1=an2．设bn=，n∈N*，且数列{bn}的前n项和为Tn． （1）求证：数列{an}为等差数列； （2）试求所有的正整数m，使得为整数； （3）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由已知条件推导出an﹣2=an﹣1（n≥2）或an﹣2=﹣an﹣1（n≥2），由此能证明数列{an}为等差数列． （2）由an=2n﹣1，知=1﹣，由此能求出所有的正整数m，使得为整数． （3）由an=2n﹣1，知，由此利用裂项求和法结合已知条件能求出实数λ的取值范围． 【解答】（1）证明：由， 得，… 所以， 即，即（n≥2）， 所以an﹣2=an﹣1（n≥2）或an﹣2=﹣an﹣1（n≥2）， 即an﹣an﹣1=2（n≥2）或an+an﹣1=2（n≥2），… 若an+an﹣1=2（n≥2），则有a2+a1=2，又a1=1， 所以a2=1，则a1=a2，这与数列{an}递增矛盾， 所以an﹣an﹣1=2（n≥2），故数列{an}为等差数列．… （2）解：由（1）知an=2n﹣1， 所以= =，… 因为，所以， 又2m﹣1≥1且2m﹣1为奇数，所以2m﹣1=1或2m﹣1=3，故m的值为1或2．… （3）解：由（1）知an=2n﹣1，则， 所以Tn=b1+b2+…+bn = =，… 从而对任意n∈N*恒成立等价于： 当n为奇数时，恒成立， 记，则≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49， 当n为偶数时，恒成立． 记，因为递增，所以g（n）min=g（2）=﹣40， 所以λ＜﹣40．综上，实数λ的取值范围为λ＜﹣40．… 19. 定义在上的函数在处的切线与直线垂直. （1）求函数的解析式； （2）设，（其中是函数的导函数），求的极值. 参考答案： （1）;(2）有极大值，无极小值   试题分析：(Ⅰ)首先根据,求出 ;然后根据在处的切线与直线垂直,求出,进而求出函数的解析式即可; (Ⅱ)分别求出、,然后分两种情况:①当和②当,讨论求出的极值即可. 20. 根据下列条件求双曲线的标准方程 （1）经过点P（3，），Q（﹣，5）； （2）c=，经过点（﹣5，2），焦点在x轴上． 参考答案： 【考点】双曲线的标准方程． 【分析】（1）设双曲线方程为mx2+ny2=1，（mn＜0），把点P（3，），Q（﹣，5）代入，能求出双曲线的标准方程． （2）设双曲线的方程为（0＜λ＜6），把点（﹣5，2）代入，能求出双曲线方程． 【解答】解：（1）设双曲线方程为mx2+ny2=1，（mn＜0）， ∵点P（3，），Q（﹣，5）在双曲线上， ∴， 解得m=﹣，n=， ∴双曲线的标准方程为． （2）∵双曲线的焦点在x轴上，且c=， ∴设双曲线的方程为（0＜λ＜6）， 又∵双曲线经过点（﹣5，2）， ∴， 解得λ=5或λ=30（舍）， ∴所求方程为． 21. 已知圆直线且与圆交于两点，点满足. 当时，求的值; 当时，求的取值范围. 参考答案： 解：当时，点在圆上，可见，当且仅当直线过圆心时满足因为圆心坐标为所以 由消去得 设则 即. 又 即，可得 令 设则 所以函数在上是增函数，所以即 解得 略 22. 如图，中心在原点的椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A，B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为：，由继而求出b2=a2﹣c2=1，继而得出椭圆方程． （Ⅱ）设直线斜率为k，则直线l的方程为：y=kx+2，由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，∵2a=4∴a=2…（1分） ∵…（2分）∴b2=a2﹣c2=1…（3