河南省驻马店市三门闸乡天中山中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

河南省驻马店市三门闸乡天中山中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设不等式的解集为A，若，则实数a的取值范围是   (A)       (B)      (C)     (D) 参考答案： A 2. 已知定义域为R的奇函数，当时，满足， 则 A．     B．     C．－2     D．0 参考答案： B 定义域为的奇函数，可得， 当时，满足， 可得时，， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选B.   3. ”a<0”是”函数在区间上单调递增”的   A.必要不充分条件           B.充要条件   C．既不充分也不必要条件    D．充分不必要条件 参考答案： D 略 4. 给出下列三个命题 ①若,则 ②若正整数m和n满足,则 ③设为圆上任一点，圆O2以为圆心且半径为1.当时,圆O1与圆O2相切 其中假命题的个数为      （   ）     A．0    B．1    C．2    D．3 参考答案： B 5. 已知向量a,b满足|a|=1，且对任意实数，|a－b|的最小值为，|b－a|的最小值为，则|a+b|＝（    ） A．   B． C．或           D．或 参考答案： C 6. 已知集合，则（   ） A．(0,3]      B．[3,π)      C．[－1,π)      D．[－1,0) 参考答案： A 7. 将一个质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，若已知出现了点数5，则使不等式a﹣b+3＞0成立的事件发生的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【分析】先求出基本事件总数n=6+6=12，再利用列举法求出使不等式a﹣b+3＞0成立的事件包含的基本事件的个数，由此能求出出现了点数5，则使不等式a﹣b+3＞0成立的事件发生的概率． 【解答】解：将一个质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次， 记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，已知出现了点数5， 则基本事件总数n=6+6=12， 使不等式a﹣b+3＞0成立的事件包含的基本事件（a，b）有： （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（3，5），（4，5），（6，5）， 共有m=9个， ∴出现了点数5，则使不等式a﹣b+3＞0成立的事件发生的概率为p==． 故选：B． 【点评】本题考查概率、列举法等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题． 8. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝f（x），且在区间［0,2］上是增函数，则当时不等式 参考答案： A 9. 明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知”.已知正整数被3除余2，被5除余3，被7除余4，求的最小值.按此歌诀得算法图，则输出的结果为（    ） A．53         B．54       C．158       D．263 参考答案： A 10. 若角的终边过点，则的值为 A. B. C. D. 参考答案： 【知识点】任意角的三角函数的定义．C1 B   解析：因为角的终边过点，所以， 所以故选B. 【思路点拨】利用任意角的三角函数的定义可求得，再利用二倍角的余弦即可求得答案． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知是函数的导函数，且，，则下列说法正确的是___________. ①； ②曲线在处的切线斜率最小； ③函数在存在极大值和极小值； ④在区间(0,2)上至少有一个零点. 参考答案： ②③④ 【分析】 根据的导数的正负性来判断的单调性，逐个选项进行判断. 【详解】因为，所以，那么，即，又因为，所以，.①中不能从条件判断出来，比如和均符合题中函数，但是可正可负.，所以①错误。②曲线的曲线切线斜率最小即的函数值最小，又由 知道二次函数的开口朝上，所以在对称轴即的值最小，所以②正确. ③函数在是否存在极大值和极小值取决于的正负性，而是开口朝上的二次函数，又因为，所以存在两个零点，并且在上，在上，在上.可知在取得极大值,在取得极小值,所以③正确。④，而， ，所以，那么之间至少有一个数为正，而因为的图像是一条连续的曲线，所以若，可得在在至少有一个零点，若，可得在在至少有一个零点，所以在区间上至少有一个零点. ④正确。所以此题①错误，②③④正确。 【点睛】此题是函数，导数，不等式的综合题，难度较高，属于拔高题。 12. 已知函数，则f(2013)=        . 参考答案： 0 设，则 所以，. 13. 已知函数，若存在，使得，则实数a的值为______． 参考答案： 【分析】 函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=ex得，y′=ex=，曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，要使f（x0）≤，则f（x0）=，然后求解a即可． 【详解】函数f（x）=（x+a）2+（ex+）2， 函数f（x）可以看作是动点M（x，ex）与动点N（-a，-）之间距离的平方， 动点M在函数y=ex的图象上，N在直线y=x的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由y=ex得，y′=ex=，解得x=-1， 所以曲线上点M（-1，）到直线y=x的距离最小，最小距离d=， 则f（x）≥， 根据题意，要使f（x0）≤，则f（x0）=， 此时N恰好为垂足，由KMN=-e，解得a= ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 14. 在二项式（+2x）n的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79，则展开式中x4的系数为　   　． 参考答案： 【考点】二项式系数的性质． 【分析】由=79，化简解出n=12．再利用二项式定理的通项公式即可得出． 【解答】解：∵=79， 化为n2+n﹣156=0，n∈N*． 解得n=12． ∴的展开式中的通项公式Tr+1==22r﹣12xr， 令r=4，则展开式中x4的系数==． 故答案为：． 15. 设，则______. 参考答案： 1 分析：首先求得复数z，然后求解其模即可. 详解：由复数的运算法则有： ， 则：. 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16. 已知函数的对称中心为M，记函数的导函数为， 的导函数为，则有。若函数 ，则可求得：            . 参考答案： -8046 17. 在数列{an}中，如果对任意的n∈N*，都有（λ为常数），则称数列{an}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题： ①若数列{Fn}满足F1=1，F2=1，Fn=Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3），则该数列不是比等差数列； ②若数列{an}满足，则数列{an}是比等差数列，且比公差λ=2； ③等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列； ④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}是比等差数列． 其中所有真命题的序号是　　． 参考答案： ①③ 考点： 命题的真假判断与应用．343780 专题： 新定义． 分析： 根据比等差数列的定义（λ为常数），逐一判断①～④中的四个数列是否是比等差数列，即可得到答案． 解答： 解：数列{Fn}满足F1=1，F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，=1，=﹣≠1，则该数列不是比等差数列， 故①正确； 若数列{an}满足，则==不为定值，即数列{an}不是比等差数列， 故②错误； 等比数列=0，满足比等差数列的定义，若等差数列为an=n，则=不为定值，即数列{an}不是比等差数列， 故③正确； 如果{an}是等差数列，{bn}是等比数列，设an=n，bn=2n，则=不为定值，不满足比等差数列的定义， 故④不正确； 故答案为：①③ 点评： 本题考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题为假，属于难题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”． （1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由； （2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”； （3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点． 参考答案： 【考点】函数的值． 【分析】（1）f（x）=x2的定义域为R．假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，则（a+x）2=k（a﹣x）2，化为：（k﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0，由于上式对于任意实数x都成立，可得，解得k，a．即可得出． （2）函数f（x）=sinx∈M，可得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），展开化为： sin（x+φ）=0，由于?x∈R都成立，可得k2+2kcos2a+1=0，变形cos2a=，利用基本不等式的性质与三角函数的单调性即可得出． （3）由于（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，可得f（1+x）=f（1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x），因此f（x+4）=f（x），T=4．对x分类讨论可得：即可得出解析式，进而得出零点． 【解答】解：（1）f（x）=x2的定义域为R． 假设存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立， 则（a+x）2=k（a﹣x）2，化为：（k﹣1）x2﹣2a（k+1）x+a2（k﹣1）=0， 由于上式对于任意实数x都成立，∴，解得k=1，a=0． ∴（0，1）是函数f（x）的“伴随数对”，f（x）∈M． （2）∵函数f（x）=sinx∈M， ∴sin（a+x）=ksin（a﹣x），∴（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0， ∴sin（x+φ）=0， ∵?x∈R都成立，∴k2+2kcos2a+1=0， ∴cos2a=，≥2， ∴|cos2a|≥1，又|cos2a|≤1， 故|cos2a|=1． 当k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+，n∈Z． 当k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z． ∴f（x）的“伴随数对”为（nπ+，1），（nπ，﹣1），n∈Z． （3）∵（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”， ∴f（1+x）=f（1﹣x），f（2+x）=﹣f（2﹣x）， ∴f（x+4）=f（x），T=4． 当0＜x＜1时，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos； 当2＜x＜3时，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos； 当3＜x＜4时，则0