福建省泉州市衡阳学校2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

福建省泉州市衡阳学校2022年高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 数列{an}满足an=n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是(     ) A．[﹣9，﹣8] B．[﹣9，﹣7] C．（﹣9，﹣8） D．（﹣9，﹣7） 参考答案： B 考点：数列的函数特性． 专题：等差数列与等比数列． 分析：an=n2+kn+2=，由于不等式an≥a4恒成立，可得，解出即可． 解答： 解：an=n2+kn+2=， ∵不等式an≥a4恒成立， ∴， 解得﹣9≤k≤﹣7， 故选：B． 点评：本题考查了数列与二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 2. 函数的零点所在的大致区间是     A．(0，1 )          B．(1 ，2)            C．(2，e)            D．(3，4) 参考答案： B 3. 已知函数f（x）=2sinx﹣3x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣3）+f（a2）＞0的恒成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） 参考答案： A 【考点】3R：函数恒成立问题． 【分析】先利用定义、导数分别判断出函数的奇偶性、单调性，然后利用函数的性质可去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得a的不等式组，解出可得答案． 【解答】解：∵f（﹣x）=2sin（﹣x）﹣3（﹣x）=﹣（2sinx﹣3x）=﹣f（x）， ∴f（x）是奇函数， 又f'（x）=2cosx﹣3＜0，∴f（x）单调递减， f（ma﹣3）+f（a2）＞0可化为f（ma﹣3）＞﹣f（a2）=f（﹣a2）， 由f（x）递减知ma﹣3＜﹣a2，即ma+a2﹣3＜0， ∴对任意的m∈[﹣2，2]，f（ma﹣3）+f（a2）＞0恒成立， 等价于对任意的m∈[﹣2，2]，ma+a2﹣3＜0恒成立， 则，解得﹣1＜a＜1， 故选：A． 【点评】本题考查恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，是中档题． 4. 已知向量，，，若，则x=（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： A 【分析】 先求出，利用数量积的坐标表示，得出方程，便可求出的值。 【详解】=（），，故本题选A。 【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标表示、平面向量的坐标运算。重点考查了两个平面向量垂直，它们的横坐标之积与纵坐标之积的和为零。 5. 在等差数列中，已知，则数列的前12项和为 A．30             B．60            C．90            D．120 参考答案： B 6. 函数的图象可能是       A．                 B．                 C．                 D． 参考答案： D 略 7. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（　　） A．1000π B．200π C．π D．π 参考答案： D 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离；立体几何． 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱， 且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积． 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面为直角三角形， 且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示； 所以该三棱柱外接球的球心为A1B的中点， 因为A1B=10，所以外接球的半径为5， 体积为π?=π． 故选：D． 【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目． 8. 已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是(　　) A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B．若m∥n，m?α，n?β，则α∥β C．若m∥n，m∥α，则n∥α D．若n⊥α，n⊥β，则α∥β 参考答案： 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） 参考答案： C 10. 7人乘坐2辆汽车，每辆汽车最多坐4人，则不同的乘车方法有（   ） A. 35种 B. 50种 C. 60种 D. 70种 参考答案： D 【分析】 根据题意，分2步分析，①先将7人分成2组，1组4人，另1组3人；②将分好的2组全排列，对应2辆汽车，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步分析， ①，先将7人分成2组，1组4人，另1组3人，有C74＝35种分组方法， ②，将分好的2组全排列，对应2辆汽车，有A22＝2种情况， 则有35×2＝70种不同的乘车方法； 故选：D． 【点睛】排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 抛物线:上到直线:距离为的点的个数为________. 参考答案： 3 12. 已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若?=0，则实数k的值为　　． 参考答案： 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k． 【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量 ∴ ∴ = = ∵ ∴ 解得 故答案为： 13. 若x，y满足约束条件，则z=x－y，的最小值是                  。 参考答案： 14. 如果：=1+mi（mR，i是虚数单位），那么m =      ． 参考答案： 1 略 15. 若与互为共轭复数，则______________． 参考答案： 7. 【分析】 先由复数的乘法，化简，再根据共轭复数的概念，即可求出结果. 【详解】因为，又与互为共轭复数， 所以，因此. 故答案为7 【点睛】本题主要考查复数的运算，以及共轭复数，熟记复数的运算法则以及共轭复数的概念即可，属于常考题型. 16. 设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是______________. 参考答案： 略 17. 不等式的解集是         。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知f（x）=（x2+ax+a）e﹣x（a≤2，x∈R）． （1）当a=1时，求f（x）的单调区间； （2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）把a=1代入，对函数求导，分别解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，从而可求函数的单调区间 （2）先假设f（x）的极大值为3．仿照（1）研究函数的单调区间，由单调区间求出函数的极大值，结合条件进行判断． 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x2+x+1）e﹣x；f′（x）=e﹣x（﹣x2+x） 当f′（x）＞0时，0＜x＜1．当f′（x）＜0时x＞1或x＜0 ∴f（x）的单调递增区间为（0，1）， 单调递减区间为（﹣∞，0）（1，+∞） （2）f′（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x] 令f′（x）=0，得x=0或x=2﹣a，列表如下： 由表可知f（x）极大=f（2﹣a）=（4﹣a）ea﹣2 设g（a）=（4﹣a）ea﹣2，g′（a）=（3﹣a）ea﹣2＞0 ∴g（a）在（﹣∞，2）上是增函数，∴g（a）≤g（2）=2＜3∴（4﹣a）ea﹣2≠3 ∴不存在实数a使f（x）最大值为3． 19. 如图，已知抛物线，其焦点到准线的距离为，点、点是抛物线上的定点，它们到焦点的距离均为，且点位于第一象限. (1)求抛物线的方程及点、点的坐标； (2)若点是抛物线异于、的一动点，分别以点、、为切点作抛物线的三条切线，若、、分别相交于D、E、H，设的面积依次为，记，问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。 参考答案： (1) ；；(2)为定值. 试题分析：(1)由抛物线的定义可知焦准距，从而可求出抛物线的标准方程；由抛物线的焦半径公式可求出点的纵坐标，从而可求点的坐标；(2)将抛物线方程写成函数形式，求导可得函数在点点处的斜率，从而可求出抛物线在这三为处的的切线方程，解方程组求出点的坐标，利用点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式求出两个三角形的面积表达式，可得. 试题解析：(1)因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以所求抛物线的方程为；设，则，即，同理，代入抛物线方程可得所； (2)，∴ ∴ l1：；l2：；l3： ∴ D(0,-1)，， ∴； ∴ ∴ 考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.导数的几何意义；3.直线与抛物线的位置关系. 20. 设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，且满足Tn=﹣3n，n∈N* （Ⅰ）求a1的值． （Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）记bn=，n∈N*，求证：b1+b2+…+bn＜1． 参考答案： 考点： 数列与不等式的综合． 专题： 高考数学专题． 分析： （Ⅰ）令n=1易得a1的值 （Ⅱ）由Tn=﹣3n可得sn，当n≥2时an=﹣sn﹣1  （Ⅲ）首先验证当n=1时成立，当n≥2时利用放缩法得证． 解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，．因为T1=S1=a1，所以，解得a1=6 （Ⅱ）当n≥2时 所以①， ②， 由②﹣①得：an=3an﹣1， 所以数列{an}是以6为首项，3为公比的等比数列． 所以． （Ⅲ）当n=1时，； 当n≥2时， =， 所以=． 点评： 本题主要考查等比数列与不等式确定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等比数列的性质，会利用放缩法及裂相消法求数列的和，本题难度较大． 21. (本题满分12分)    如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点。    （1）求证：CD⊥AE；    （2）求证：PD⊥面ABE。 参考答案： （I）证明：∵PA⊥底面ABCD ∴CD⊥PA 又CD⊥AC，PA∩AC=A， 故CD⊥面PAC  AE面PAC，故CD⊥AE     （II）证明：PA=AB=BC，∠ABC=60°， 故PA=ACE是PC的中点，故AE⊥PC 由（I）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD， 故AE⊥PD 易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE  略 22. （本题满分12分）我校要用三辆校车从本校区把教师接到东校区，已知从本校区到东校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响． （1）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率； （2）在（1）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望．学 参考答案： 解（Ⅰ）由已知条件得 ，……………………2分 即，则．  ……………………………………………………………